定积分求面积的公式，如何用定积分求球表面积的公式

r(θ)表示θ角时的极径长度，dθ表示的视角变化量。因为这个原因在极坐标围成的图形中中，取一个面积微元，它就是以r为半径，dθ为圆心角的扇形，面积为1/2r²dθ，当θ从α变到β时，面积就是要证的公式啦。这个是形象的理解，真正严格证明需分割求和取极限的积分证明。

曲面面积公式：S=∫∫（D)√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 dxdy

if球的半径为a

取上半球的方程z=√a^2-x^2-y^2

它在x0y上的投影区域D=(x,y)x^2+y^2≤a^2

ψz/ψy=-x/√a^2-x^2-y^2

ψz/ψx=-y/√a^2-x^2-y^2

√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 =a/√a^2-x^2-y^2

因为该函数在D上无界,不可以直接用面积公式,弦先去一个区域D1=(x,y)x^2+y^2≤b^2 (0＜b＜a)

计算出面积后使b→a,便计算出面积

S1=∫∫（D1)a/√a^2-x^2-y^2 dxdy

用极坐标：

S1=∫∫（D1)a/√a^2-ρ^2 ρdρdθ=a*∫(2π,0)dθ*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2

=2πa*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2

=2πa(a-√a^2-b^2)

当b→a

求得S=2πa^2

这是半个球的面积

S球=4πa^2

定积分可以用来找寻面积, 但定积分不等于面积, 因为定积分可以是负的, 但面积是正的。

因为这个原因, 当积分的曲线被划分为 x 轴时, 分割 (超越0和小于 0) 分别计算, 然后正积分加上负积分的绝对值相等一个区域是表示平面中的二维图形或形状或平面图层的维度数。

表面积是三维物体二维曲面上的模拟器。

该区域可以理解为具有给定厚度的材料的数量, 并且该区域针对形成形状的模型是必要的。

一个函数, 可以有无法确定的积分, 没有定积分, 也可有定积分, 也可没有无法确定的积分。

一个连续函数, 一定要有确定积分和无法确定积分, 假设唯有一个有限的不连续性点, 既然如此那，确定积分存在, 假设有跳不连续性点, 既然如此那，原来的函数就不可以存在, 即,无法确定积分不可以存在。

这个需学了微积分后面用定积分的知识处理。

针对曲线y=f(x)（x1≤x≤x2），绕x轴旋转后得到的旋转体的侧面积为： ∫2*π*|f(x)|*(1+f(x)^2)^(1/2)dx，积分区间是[x1,x2]。

假设是双曲线y=1/x（0x1≤x≤x2），对应的旋转体的侧面积为： ∫2*π*1/x*(1+1/x^2)^(1/2)dx，积分区间是[x1,x2]，此积分不可以用初等形式表达，但是，针对详细的x1、x2，可以算出数值来。

假设双曲线方程是:x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a≤x1≤x≤x2） 取y=sqrt(x^2-a^2)*b/a，则y(x)=b*x/(sqrt(x^2-a^2)*a) 则侧面积公式为：∫2*π*y(x)*(1+y^2)^(1/2)dx，积分区间是[x1,x2]

极坐标积分面积公式是(x-a)²+y²=a²x²+y²=2ax，定积分应用面积按照极坐标系下r=0解出θ范围即为积分区间，然后代入极坐标面积微元公式进行定积分就可以。

设曲线ρ=R在区间[θ1，θ2]上非负连续，当dθ足够小时，其的视角对应的曲线长度为扇形曲线的长度，故曲线周长积分变量为Rdθ，当dθ足够小时，曲线面积近似为直角三角形面积，等于一边长度乘以高，故曲线面积积分变量为1/2R×Rdθ，由此得到曲线周长面积的定积分。

(x-a)²+y²=a²x²+y²=2ax

针对平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有的时候，也用r表示），θ表示从Ox到OM的的视角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

扩展资料

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可在极坐标系中有无限种表达形式。一般来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（−r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。假设某一点的r坐标为0，既然如此那，不管θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，一般用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标积分求面积公式是(x-a)²+y²=a²x²+y²=2ax ，极坐标下，二元函数的几何意义是一样的，即二元函数与定义域围成的体积。

用对面积的曲面积分喽

假设曲面的方程是x^2＋y^2＋z^2＝R^2,由对称性,只考虑第一卦限部分的面积

第一卦限的球面的方程是z＝√(R^2-x^2-y^2),αz/αx＝－x/z,αz/αy＝－y/z

dS＝Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)

第一卦限的球面在xoy面的投影区域是D：x^2＋y^2≤R^2,x≥0,y≥0

故此，,球面面积S＝8∫∫Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)＝8∫(0～π/2)dθ∫(0～R) R/√(R^2-ρ^2)ρdρ＝4πR∫(0～R) 1/√(R^2-ρ^2)ρdρ＝4πR^2

积分求面积公式：y=x+1。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。一般分为定积分和不定积分两种。直观地说，针对一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线还有轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

微积分（Calculus），数学概念是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)还有相关概念和应用的数学分支。 它是数学的一个基础学科，内容主要涵盖极限、微分学、积分学及其应用。

微分学涵盖求导数的运算是一套有关变化率的理论。