微积分换元法什么是定积分中的换元法请通俗一点

换元积分法是求积分的一种方式是由链式法则和微积分基本定理推导而来的，而分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方式，下面就来讲解一下换元法和积分法里需要大家特别注意的问题：

1、当积分表达式中含有根式，分式等形式时，能用到换元法进行积分，考试试卷中大多数情况下会指定表达式中的某一些作为替换的部分。在利用换元法做定积分试题时一定要注意修改对应的定积分上下限。

2、当我们碰见2个部分函数相乘的形式作为被积函数，可以考虑使用分部积分的方式。注意选择适合的部分作为公式的u，另一些即为dv/dx，这点也需多加注意。

3、定积分的换元积分法要记得积分上下限的改变，若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．故此，需先用换元法

换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方式，主要运用引进中间变量作变量替换使原式简易，以此来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

基本信息

中文名

换元积分法

外文名

Integration By Substitution

电子产品类别

2

定义

换元积分法是求积分的一种方式。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

在计算函数导数时。复合函数是经常会用到的法则，把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。以此把原来的被积表达式变成较简易的不定积分那就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。

两种方式

第一类

第一类换元法，也称为凑微分法，推导过程请看下方具体内容：

设 在 上有定义，在 上可导，且， ，并记， 。

若 在 上存在原函数，则 在 上也存在原函数， ，即

在使耗费时长，也可以把它写成请看下方具体内容简单方便形式：

使用这样的方式的重点在于将 凑成，还有 的原函数容易取得，下面通过一个例子来介绍：

求

解：

第二类

设 在 上有定义，在 上可导，且， ，并记， 。

若， ，则当 在 上存在原函数 时，在 上也存在原函数，且，即

(这当中 是 的反函数)

这个时候观察这两类换元法的定理公式，发现它们是相互可逆的。

例子

计算积分。

这当中换元为后，亦变为是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但是在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围，而不是的取值范围。

微积分中的换元法 substitution，有太多的种类，如，根式代换、倒代换、指数代换、对数代换、三角代换

而三角代换中，又有正弦或余弦代换、正切或余切代换、正割与余割代换，

而有名的是办正切代换，我们夸张为“万能代换”

至于正弦或余弦代换、正切或余切代换、正割或余割代换、还有半正切代换

换元法，也称为凑微分法，从名字中我们就可以看得出来，就是把f[g(x)]g(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式，故此，用好这一方式的重点就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g(x)dx。 扩展资料

　　要求对基本初等函数的导数，基本初等函数与其导数的关系很了解（例如有部分函数求导后，函数的形式不变，像露幂函数，指数函数）。

　　换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g(t)dt，得出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。经常会用到的代换是根式代换，三角代换，倒代换。适用于含有简单的`根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，完全就能够考虑把√x代换；或被积函数里有√（a^2±x^2），√（x^2－a^2）；还有部分试题可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x^2））的积分。

定积分换元主要为了在计算被积函数的原函数时方便，换元就是把这当中复杂的项用另外个其他的字母所代替，换元时有3个部分需换，一:积分区间，就是在被积分涵数中你所用字母代替的项，比如你想积的函数是x的，在换元时把复杂的项用t来表示，然后得出x的多项式即用t的式子来表示x，这是为求第3个步骤的dx中的x准备，然后把x的范围其实就是常说的积分区间的上下线得出各自所对应的t值作为新的上下线。

第二部:得出新的积分函数，即用t所表示原来的函数，第3个步骤:即是在第一部所提到的求dx中的x用t表示，然后对这个式子求导就可以，本来想给你说个例题来讲，可是不清楚怎么输入，不明白就再问我！

定积分的换元法，就其换元与不定积分完全一样。这里不一样的是，定积分换元要对应换积分限。换积分限后的定积分，就不需要象不定积分那样就后要反代换。可见定积分换元换限后，新的积分不可以再需考虑原积分变量。这也是定积分换元法的优势之一。

1.变量代换x=rcost,y=rsint 2.得出极坐标系下积分局域的表达形式（讲x，y代入）

3.将被积函数做变量替换，同时dxdy=-rsintcostdtdr(jacobi行列式消去了一个r，故此，是r的一次方) 4.在新的积分区域内求二重积分

定义法，公式法，分部积分法，换元积分法

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法一般分为两类：

第一类换元法：

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

假设u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么按照复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ(x)dx。

以此按照不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，其实就是常说的将积分变量x换成u；后是求原函数，其实就是∫f[φ(x)]φ(x)dx不好求。

而∫f(u)du好求，故此，先得出后一个不定积分；后再将变量u换成x。当熟练掌握并熟悉这一方式后，可以没有必要引入变量u。

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可以当作变量x的微分来对待，以此微分来对待。

以此微分等式φ(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一试题中已经这样用了，那里把积分∫F(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F(x)dx=dF(x)，把被积表达式F(x)dx。记作dF(x)

设要求∫g(x)dx，假设函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ(x)的形式，既然如此那，：

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，假设能求得f(u)的原函数，既然如此那，也就得到了g(x)的原函数。

第二类换元法：

上面讲解的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ(x)dx化为积分∫f(u)du。

下面将讲解的第二类换元法是，一定程度上地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ(t)dt。

三角函数积分须知：

一、√袭(a²-x²) 一般用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。

二、√(x²-a²)一般用x=a*sect ，∵x²-a² = a²sec²t-a²

= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t

sec函数和tan函数的连续区域完全一样，t的范围取0≤t≤π/2，sect的值从1~+∞，对应tant的值从0~+∞，也可直接去除根号，不需要讨论正负。

三、总结：只要换元为三角函数后的的视角变量取值适合，这两种换元都可以不需要讨论去除根号后的正负问题。