心形图像的函数方程式，笛卡尔心形函数解析式怎么算

这要用极坐标方程表示： r=a(1+cosθ)与r=a(1-cosθ)的图象都是心形线，这里a0是常数，r是平面上的点到原点的距离，θ是平面上的点与原点所连射线与x轴正半轴所成的角。 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有 代换法（或换元法）、 还未确定系数法 、迭代法、 柯西法。

据传说笛卡尔心形线公式是法国著名的数学家笛卡尔，写给情人克里斯汀公主第十三封信里面的主要内容。这封信里唯有这个数学公式，将这个公式整个的曲线图作出来，就是有名的心脏线！

心形线的直角坐标表达式 x^2+y^2+ax = a√(x^2+y^2

极坐标表达式 r^2+acost = ar, 即 r = a(1-cost)

比如：

设心形线的极坐标方程为 ρ=a(1-cosθ) ，则心形线的周长为C=8a。

推导过程为

C=∫dao(r^2+r^2)^(1/2)dθ，这当中，r表示r的导数,积分上限2π,下限为0

C=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ

=a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ

=2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π,下限为0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限为π,上限为2π)]

=8a

扩展资料：

极坐标方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a0)

直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别是 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。

心形线：是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径一样的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名，心脏线亦为蚶线的一种，在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线，参数方程为：

-pi=t=pi 或 0=t=2*pi，x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))，y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))，所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a所围面积的求法：以ρ=a(1+cosθ)作为例子，令面积元为dA，则dA=1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ，运用积分法上半轴的面积得，A=∫(π→0)1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ=3/4*a∧2*π，故此，整个心形线所围成的面积公式推导为：S=2A=3/2*a∧2*π。

心形函数表达式是：r=a(1-sinθ)。

r＝a（1-sinθ）这个函数有两个变量，可对a赋值，然后进行解答。函数图像是心形线。这个方程又被称为“笛卡尔的爱情坐标公式”。

在中学教育里高中数学课本，选修4-4《极坐标与参数方程》有提到。老师也大多数情况下会在上函数内容的课程时当做趣味故事讲述。

扩展：

1、笛卡尔心形函数 r=a(1－sinθ)，可以变常数a的大小，控制心形线大小。理论上，a越大，心形线越大。

2、我爱你，就是心形函数r=a(1-sinθ)，常被人当做表达爱和浪漫的一种方式。并且有关这个函数的由来有一个传播很广的故事。

笛卡尔在52岁时邂逅了当时瑞典的公主，当时他是公主的数学老师，不久公主就对笛卡尔出现了爱慕之情。然而国王清楚后，很愤怒，将他流放回法国。在那里，笛卡尔给公主写的信都会被拦截。

在笛卡尔寄出第十三封信后，笛卡尔永远离开了这个世界。在后的一封信上，笛卡尔只写了一个公式：r=a(1-sinΘ)

国王也看不懂，于是把这封信交给了公主。那就是我们清楚的极坐标下的心型函数。

这封情书至今保存在欧洲笛卡尔纪念馆里。

3、但这个故事的可信度依然不会高。

因为这位公主是后来的克里斯蒂娜女王，1649年，笛卡尔接受了瑞典女王克里斯蒂娜发出的邀请，赴瑞典教女王哲学。

一开头笛卡尔很拒绝，因为笛卡尔是法国人，并且居住在法国南部，而瑞典天气寒冷。

但是，禁不住女王的在三邀请，他后答应了。

他受到礼遇很痛苦，因为女王要他每天早晨5点钟开课，而他习惯于躺在床上一直待至中午。这个差使使他苦不堪言，因为每周里有3天他天不亮就得起床，在凛冽的寒风中挣扎着走向女王的御书房。1650年2月，他染上风寒，进一步发展为肺炎，在临终仪式后死去，享年54岁。

单是根据时间线可以看得出来，当时的克里斯蒂娜已经是女王，和故事里的公主身份不满足。

此外有关这位克里斯蒂娜女王的性取向也常常被后人讨论。

据传说笛卡尔心形线公式是法国著名的数学家笛卡尔，在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念克里斯汀公主，每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。

在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。这个时候，被软禁在宫中的小公主仍然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。

这后的一封信上没有写一句话，唯有一个方程式：r=a(1-sinθ)。

国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，遍把全城的数学家召集到皇宫，但是，没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她马上明白了恋人的用意，找来纸和笔，开始把方程图形画了出来，一颗心型图案出现在->眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。

国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便马上派人去法国找寻心上人的下落，收到的反而笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……

笛卡尔的爱心函数心形线是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径一样的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。

笛卡尔二维坐标系里的桃心公式：r=a(1-sinθ）

极坐标方程： 水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a0) 垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a0) 直角坐标方程： 心形线的平面直角坐标系方程表达式分别是 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

参数方程： -pi=t=pi 或 0=t=2*pi x=a*(2*cos(t)-cos(2*t)

) y=a*(2*sin(t)-sin(2*t)) 所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a 所围面积的求法：以ρ=a(1+cosθ)作为例子 令面积元为dA，则 dA=1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ 运用积分法上半轴的面积得 A=∫(π→0)1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ =3/4*a∧2*π 故此，整个心形线所围成的面积S=2A=3/2*a∧2*π

这是笛卡尔心形线极坐标方程。标准方程是：(x²+y²-1)³-x²y³=0极坐标方程是：r=a(1-sinθ)参数方程是：X=2a(sinθ-1/2sin2θ) Y=2a(cosθ-1/2cos2θ) (0≤θ≤2π)通过宏程序编程用铣床加工出来后的效果是还有一种经过大神演变过的桃形心参数方程：X=16(sinθ)³Y=13cosθ-5cos2θ-2cos3θ-cos4θ(0≤θ≤2π)通过宏程序编程用铣床加工出来后的效果是还有不少可以通过演变的来的图案这哪些虽然没有加工出来实体，但程序模拟出来是没有问题的。如有错误的地方，还望大神们指出来，一起学习成长。

这是笛卡尔心形线极坐标方程。标准方程是：(x²+y²-1)³-x²y³=0极坐标方程是：r=a(1-sinθ)参数方程是：X=2a(sinθ-1/2sin2θ) Y=2a(cosθ-1/2cos2θ) (0≤θ≤2π)通过宏程序编程用铣床加工出来后的效果是还有一种经过大神演变过的桃形心参数方程：X=16(sinθ)³Y=13cosθ-5cos2θ-2cos3θ-cos4θ(0≤θ≤2π)通过宏程序编程用铣床加工出来后的效果是还有不少可以通过演变的来的图案这哪些虽然没有加工出来实体，但程序模拟出来是没有问题的。如有错误的地方，还望大神们指出来，一起学习成长。

1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。

　　那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，都的财产唯有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔压根不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。

　　一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都没办法对他导致干扰。

　　突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王宠爱的女儿克里斯汀。

　　她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。

　　和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依然每天坐在街头写写画画。

　　几天后，他意非本地接到公告，国王请来他做小公主的数学老师。满心困惑的笛卡尔跟随前来公告的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候时，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他抓紧低头行礼。

　　从此，他当上了公主的数学老师。

　　公主的数学在笛卡尔的悉心详细指导下突飞猛进，他们当中也启动变得亲密起来。笛卡尔向她讲解了他研究的新领域-直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，其实就是常说的日后笛卡尔创立的剖析解读几何学的雏形。

　　在笛卡尔的带着下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此出现了爱慕之心。

　　在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。

　　然而没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，发布命令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。

　　当时，欧洲大陆已经在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。

　　在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。这个时候，被软禁在宫中的小公主仍然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。

　　这后一封信上没有写一句话，唯有一个方程：r=a(1-sinθ)。

　　国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是，没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不 乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她马上明白了恋人的用意，找来纸和笔，开始把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在->眼前，克里斯汀不禁 流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。

　　国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便马上派人去法国找寻心上人的下落，收到的反而笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……

　　这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。