参数方程的定积分，参数方程积分计算方法?

A=(1/2)∮(xdy-ydx)这是格林公式求xoy平面上面积公式

若平面 曲线 是参数式,因x=x(t),y=(t),dx=x'dt,dy=y'dt

就可以用x(t)和y(t)代替x和y ,用x'dt代替dx,用y'dt代替dy

A=1/2∮[x(t)y'(t)-y(t)x']dt

1.画出曲线

2.得出交点

3.对x进行积分,设下限为a,上限为b,则x=a必过公共部分左边的点,且公共部分全在x=a的右方x=b必过公共部分右边的点,且公共部分全在x=b的左方对y积分同理

4.假设是求面积，你只要保证得数是正的完全就能够啦，不需要管上下限。我平日间就这样，没错过

5.画图观察交点分析图像的对称性与否得出某一个区间的积分就OK

大多数情况下地，在平面直角坐标系中，假设曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：

平面直角坐标系中，假设曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数。

曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标。

椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数。

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数。

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数。

并且针对t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，联系变数x、y的变数t叫做参变数。相对来说，直接给出点坐标间关系的方程为普通方程。

直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表示直线经过（x,y），且倾斜角为a,t为参数。

以下面一道经典例题讲解来论述

第1个步骤，把二重积分的内积分先积分，进一步把二重积分转化为定积分。

第2个步骤，将参数方程代入第1个步骤中得到的定积分，就可以得到唯有t的定积分，然后按定积分的计算方式进行。

设被积函数为f=ax+b，积分区间为（c,d)

MATLAB代码请看下方具体内容：

syms a b c d x；

f=a*x+b；

answer=int(f,x,c,d).

三重积分化为参数方程求可以找个t作为中间变量,使原来的自变量x,y,z成为t的函数,以此将原来的三重积分变成有关变量t的积分（假设是定积分,注意积分上下限的变换）有关曲线积分解答,应先判断积分属于第一类积分还是第二类,然后进行解答,两类积分都可以进行转化变成定积分的形式（可以通过参数方程,格林公式等）有关曲面积分,和曲线积分思路差很少,主要应掌握并熟悉高斯公式和斯托克斯公式

y(x)是不等于ψ(t)的！y(x)应该等于ψ[t(x)]，这里t=t(x)是x=φ(t)的反函数。比如求旋转体体积时的被积表达式πy^2*dx=π{ψ[t(x)]}^2*dx=π{ψ[t(φ(t))]}^2*dφ(t)=π[ψ(t)]^2*φ(t)*dtt(φ(t))=t-

旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，所以其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x

这个问题就得到表面积积分元，所以，表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx

体积，几何学专业术语。当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。体积的国际单位制是立方米。一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的。

x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕x轴旋转： y^2=b^2(1-x^2/a^2) V=∫-a,a π·y^2 dx =π·b^2 ∫-a,a (1-x^2/a^2) dx =π·4/3·a·b^2 - 绕y轴旋转： x^2=a^2(1-y^2/b^2) V=∫-b,b π·x^2 dy =πa^2 ∫-b,b (1-y^2/b^2)dy， =π·4/3·a^2·

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x

这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx。

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x，则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，该圆环柱的底面圆的周长为2πx，故此，底面面积约为2πx*△x，该圆环柱的高为f(x)，故此，当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端,旋转体体积：V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx,x积分区间是一个拱圈[0,2πa]；

以参数方程表示,V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π]；

V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt

=8π²a³-πa³∫sin²t dt=8π²a³-πa³∫(1-cos2t)dt/2=8π²a³-πa³/2；