内心向量公式推导，三角形各心的向量公式

例子：在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明：O为三角形ABC内心.

　　在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明：O为三角形ABC内心.

　　在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下都为向量

　　故此，OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得：

　　aOA+bOB+cOC=0

　　故此，,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0

　　又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,故此，不妨设,OD=kOC

　　原式变为：(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0

　　故此，,aDA=-bDB,故此，DA与DB的长度之比为b/a,故此，CD为角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.

三角形四心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形时，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

三角形四心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形时，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

1.ABC的重心 PA+PB+PC=0

2. 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

3 .若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 .若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5. AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6.AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7.AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

内心是角平分线的交点,到三边距离相等.设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c内心为M （X,Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量） MA=（X1-X,Y1-Y） MB=(X2-X,Y2-Y) MC=(X3-X,Y3-Y

三角形内，有内心，旁心，重心，外心，垂心，公式请看下方具体内容图

三角形向量公式：aIA+bIB+cIC=0向量，即向量a+向量b=向量AC，已知非零向量a和b，在平面内任取一点A，作向量AB=向量a，过B点作向量BC=向量b，连接AC，得向量AC。

三角形向量及面积定理可以通过在二维坐标系中利用矩阵计算面积后，通过大除法得出面积比值。a IA+b IB+c IC= 0(加重为向量标示)(a b c 可负，代表三角形外三角形)，面积公式S=a*ha S=ab*sinC S=rs S=abc/ S=2R²*sinAsinBsinC S=s*tan S=√[s] S=s²*tantantan S=sinAsinB/[2sin]。

三角形四心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形的四心 是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三 角形是正三角形时，重心、垂心、内心、外心四 心合一心，称做正三角形的中心。

br三角形是由同 一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连 接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见 的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等）， 等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的 等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、 锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角 三角形统称斜三角形。

1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心 PA·PB=PB·PC=PA·PC(内积）

3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心 |PA|2=|PB|2=|PC|2

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【下面这些内容就是一部分结论的相关证明】

1.

O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量

充分性：

已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,

延长CO交AB于D,按照向量加法得：

OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：

a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,

因为OD与OC共线,故此，可设OD=kOC,

上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,

向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,

故此，只可以有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,

由aDA+bDB=0向量就可以清楚的知道：DA与DB的长度之比为b/a,

故此，CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.

必要性：

已知O是三角形内心,

设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,

∵O是内心

∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE

过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,

故此，四边形OMAN是平行四边形

按照平行四边形法则,得

向量OA

=向量OM+向量ON

=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO

=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO

=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.

已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP

例子：在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明：O为三角形ABC内心.

　　在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明：O为三角形ABC内心.

　　在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下都为向量

　　故此，OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得：

　　aOA+bOB+cOC=0

　　故此，,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0

　　又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,故此，不妨设,OD=kOC

　　原式变为：(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0

　　故此，,aDA=-bDB,故此，DA与DB的长度之比为b/a,故此，CD为角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.

1.

若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0

2.

若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)

3.

若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)

4.

若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²

第一证明这个结论：O是ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0 （均表示向量）证明:OB=OA+AB,OC=OA+AC,代入aOA+bOB+cOC=0中得到：AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)而|AC|=b,|AB|=c故此，AO=bc/(a+b+c) * (AB/|AB|+AC/|AC|)而由平行四边形法则值(AB/|AB|+AC/|AC|)与BAC交角平分线共线故此，AO经过内心同理BO,CO也经过内心,故此，O为内心反之亦然,就不证了清楚这个结论后设ABC的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c内心为O(x,y)则有aOA+bOB+cOC=0（三个向量） MA=(x1-x,y1-y) MB=(x2-x,y2-y) MC=(x3-x,y3-y) 则：a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0,a(y1-y)+b(y2-y)+c(y3-y)=0 ∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c) ∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))

在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明：O为三角形ABC内心.

在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明：O为三角形ABC内心.

在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下都为向量

故此，OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得：

aOA+bOB+cOC=0

故此，,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0

又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,故此，不妨设,OD=kOC

原式变为：(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0

故此，,aDA=-bDB,故此，DA与DB的长度之比为b/a,故此，CD为角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.