等额本息计算公式推导过程，等额本息公式的推导和演算方法

等额本息计算公式推导，等额本息还款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

　　等额本息计算公式推导

　　等额本息是买房按揭贷款时经常会用到的一种还款方法，其意义从字面完全就能够理解，就是每期还款的本金加利息之和相等。我们在计算每期应还本金和利息时，在Excel中可以方便的使用函数PMT(rate,nper,pv)计算每期本金利息和；PPMT(rate,per,nper,pv)计算每期本金（rate为还款周期利率，per为还款期次，nper为还款总期数，pv为贷款总额）。

　　函数很好用，但总认为不够直观，我们看不到从本金、利率、期数算出结果的过程。实际上通过在高等数学中的等比序列知识，不难把计算公式推导出来。下面为推导过程：

　　等额本息还款公式推导

　　设贷款还款方法为等额本息（按月还）。P为整笔贷款本金，M为贷款总月数（期供总数），R为月利率，V为每期应还本金利息和；Pn为第n期应还本金，Vn为第n期应还本息和。有：

　　第1期应还本息和 = P1+(P1+P2+...+PM)*R

　　第2期应还本息和 = P2+(P2+P3+...+PM)*R

　　第3期应还本息和 = P3+(P3+P4+...+PM)*R

　　...

　　第M期应还本息和 = PM+PM*R

　　第1个步骤推论：Pn=P1*(1+R)^(n-1)

　　根据等额本息的定义，每期应还本金和利息总和相等。则有：

　　V1=V2=V3=V

　　由V1=V2，

　　P1+(P1+P2+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

　　=》P1+P1*R+(P2+P3+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

　　=》P1+P1*R = P2

　　=》 P2 = P1*(1+R)

　　同理，由V2=V3，

　　=》 P3 = P2*(1+R) = P1*(1+R)^2

　　由V(n-1)=Vn，

　　=》 Pn = P1*(1+R)^(n-1)

　　第2个步骤推论：P1=P*R/((1+R)^M-1)

　　再由P=P1+P2+...+PM推导，得：

　　P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

　　注意上面说的公式是一个等比序列求和问题。先学习下等比序列基础知识：

　　有数列 a1,a2,a3,...,an,...

　　假设a2/a1=a3/a2=...=an/a(n-1)=...=q，q≠0，则这个数列为等比数列。

　　等比数列求和公式：

　　Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

　　结合等比数列求和公式，这个方向q=1+R, n=M,得

　　P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

　　= P1*(1-(1+R)^M)/(1-(1+R))

　　= P1*((1+R)^M-1)/R

　　求P1，得：

　　P1=P*R/((1+R)^M-1)

　　第3个步骤：结论

　　由第2个步骤P1公式，代入Pn=P1*(1+R)^(n-1),得：

　　Pn=P*R*(1+R)^(n-1)/((1+R)^M-1)

　　那就是每期应还的本金。每期应还的本息和为：

　　V=V1

　　=P1+P*R

　　= P*R/((1+R)^M-1)+P*R

　　= P*R*(1/((1+R)^M-1) + 1)

　　= P*R*(1+R)^M/((1+R)^M-1)

　　至此，得到结论。

等额本息计算公式



等额本息计算公式是等额本息计算公式：每月还款额=贷款本金×[月利率×(1+月利率) ^ 还款月数]÷{[(1+月利率) ^ 还款月数]-1}



这当中^表示乘方，比如：2个月就是2次方。

等额本息是指一种贷款的还款方法。等额本息是在还款期内，每月偿还同等数目金额的贷款(涵盖本金和利息)。



一个现实的问题，假设贷款A=100万买房，年利息率（复利）是r=7%，n=5年还清。假设每一年还款一样多（等额本息），既然如此那，每一年的还款额是多少？

先用笨法子，依次来理一理思路。第一，一开头，第0年，欠款100万元。到第一年末，还款M，既然如此那，就剩下100(1+r)-M的欠款。到第二年末，还款M，就剩下(100(1+r)-M)(1+r)-M=100(1+r)^2-M(1+r)-M。到第三年末，还款M，就剩下(100(1+r)^2-M(1+r)-M)(1+r)-M=100(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M。到第四年末，还款M，就剩下100(1+r)^4-M(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M。到第五年末，还款M，就剩下100(1+r)^5-M(1+r)^4-M(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M。明显，第五年末的剩下欠款是0，于是我们就列出方程式100(1+r)^5-M(1+r)^4-M(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M=0。

解答M，这里要用到等比数列的求和公式q+q^2+q^3+…q^n=(q-q^(n+1))/(1-q)。

后，可以解出等额本息的M=A*r/(1-(1+r)^(-n))。

针对上面的详细案例，M=1000000*7%/(1-1.07^-5)=243890.69元/年。

我们也可按照货币的现值公式来列方程，

100=M/(1+r)+M/(1+r)^2+M/(1+r)^3+M/(1+r)^4+M/(1+r)^5。

也可按照货币的终值来列方程，

100*(1+r)^5=M(1+r)^4+M(1+r)^3+M(1+r)^2+M(1+r)+M。

虽然，上面3个方程式的物理意义不一样，但后的数学计算都差不多的。

民间借贷利率的不一样说法。银行的房贷利率是标准的数学复利计算，对应真实的利息实质上给付。但是这样的计算方式很复杂，要用到房贷计算器，不太直观。另外一种更简单的理解方法是“先息后本”。比方说，借款100万，年利率7%，期限3年。第一年归还利息7万，第二年归还利息7万，第三年归还利息7万和本金100万。这里的利息也是年化复利的意义。

民间借贷经常会用到到“月息几厘或月息1分几厘”。比方说，月息1分，就是每月利息是1%。就是说，借款100万元，每月还1万元的利息，第12个月到期还1万的利息和100万的本金。这里的月息1%是复利的概念，基本上等同于复利年利息率12.68%。

不少民间借贷形式是简单直接的。比方说，借你100，年利息；我先扣20利息，给你80，一年后到期你还我100。这里的“百分之20利息率”实质上对应20/80=25%的真实利率。假设是期限2年，先扣40的利息，给你60到期还100，这明面上的“百分之20”实质上就对应年化利率(100/60)^(1/2)-1=29.百分之10，这是很高的年利息了。

小额贷款公司大多数情况下是采用全额计息的说法。比方说，贷款100万，月息1分，总共本息是112万元；你每月等额还款112/12=9.33万元。很明显，这里的“月息1分”要大大高于年化利息率12%。我们可以详细算一下。

按照上面的等额本息复利公式，M=A*r/(1-(1+r)^(-n))。将M=9.33，A=100，n=12，代入可解得r=0.018，这是月息，合复利的年利率24%。这个r的解是个合理试探近似解，直接是没办法解答的。

假设是真实的月息1分（1%），贷款100万元，每月的等额本息还款肯定是M=100*0.01/(1-1.01^-12)=8.88万元，要比全额计息的9.33万元少0.5万元。

等额本息还款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

中文名

等额本息还款法

外文名

average capital method

类别

还款方法

适用范围

金融

基本特点

等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，这当中每月贷款利息按月初剩下贷款本金计算并逐月结清。因为每月的还款额相等，因为这个原因，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；在贷款末期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就有点多。 这样的还款方法，实质上占用银行贷款的数量更多、占用时间更长，同时它还方便借款人合理的根据目前实际情况安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），针对精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是好的选择。

计算公式

每月还款额=贷款本金×[月利率×(1+月利率) ^ 还款月数]÷{[(1+月利率) ^ 还款月数]-1}

推导过程

等额本息还款公式推导 设贷款总额为A，银行月利率为β，总期数为m（个月），月还款额设为X，

则各个月末所欠银行贷款为：

第30天末：

第二个月末：

第90天末：

…

由此可得第n个月末所欠银行贷款为：



因为还款总期数为m，也即第m月末刚好还完银行全部贷款，因为这个原因有：



由此求得：



等额本金还款法说的是贷款人把本金分别摊到每个月份内，再还清上一交易日至本月还款日当中的利息。

等额本金还款的方式是对比等额本息来说的，因为等额本金还款支付的总利息会少不少，既然如此那，前期还要贷款人支付非常多的本金和利息，然后还款金额会逐月进行递减。这样的还款法比较合适有一定经济实力的人。

等额本金还款是指贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至此次还款日当中的利息。这样的还款方法相对等额本息来说，总的利息支出很低，但是，前期支付的本金和利息有点多，还款负担逐月递减。

等额本金还款法是一种计算很简单方便，实用性很强的一种还款方法。基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款本金，并同时还清当期未归还的本金所出现的利息。方法可以是按月还款和按季还款。因为银行结息惯例的要求，大多数情况下采取按季还款的方法（如中国银行）。

等额本金还款法是指一种贷款的还款方法是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数目金额的本金和剩下贷款在该月所出现的利息，这样因为每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力很大，但是，随时间的推移每月还款数也越来越少。也方便按照自己的收入情况，确定还贷能力。此种还款模式支出的总和对比等额本息利息可能带来一定减少，但一开头时还款压力很大。假设用于房贷，此种方式比较合适工作正处于人流高度聚集阶段的人，或者是马上就要退休的人。