三角函数加减计算公式化积为和公式

三角函数求和公式，在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，这当中∠ACB为直角。对∠BAC来说，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC。

三角函数是以的视角为自变量，观察的视角对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可等价地用与单位圆相关的各自不同的线段的长度来定义。常见的三角函数涵盖正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等。

sinα •sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

　　和差化积公式推导

　　附推导：

　　第一,我们清楚sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　故此，,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的,我们还清楚cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　故此，,把两式相加,我们完全就能够得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　故此，我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只要能一个变形,完全就能够得到和差化积的四个公式.

　　我们把上面说的四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,既然如此那，a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示完全就能够得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

和差化积公式：涵盖正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，一定要是一次同名（正切和余切除外）三角函数才可以实行。若是异名，一定要用诱导公式化为同名；若是高次函数，一定要用降幂公式降为一次。

三角函数自始至终都是数学学习中的一大障碍，很多人常常抱怨三角函数太杂公式太多，下面这些内容就是有关三角函数中和差化积和积化和差的公式

和差化积和积化和差的公式

和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

记忆方式

积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下哪些方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方式。

这一点简单的记忆方式是通过三角函数的值域来判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是[-2,2]，而积的值域反而[-1,1]，因为这个原因除以2是一定要的。

也可通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项一样而导致有系数2，如:

cos(α-β)-cos(α+β)

=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

=2sinαsinβ

故后需除以2。

和差化积

如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。而第二个公式中的-sinβ=sin（β+π），其实就是常说的sinα-sinβ=sinα+sin（β+π），这个问题就可以用第一个公式处理。同理第四个公式中，cosα-cosβ=cosα+cos（β+π），这个问题就可以用第三个公式处理。

假设对诱导公式足够熟悉，可在运算时把cos都转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。

用时想得起一两个就行了。结果乘以2这一点简单的记忆方式是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也肯定是[-1,1]，而和差的值域反而[-2,2]，因为这个原因乘以2是一定要的，下面是简单的口诀

口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[