三角函数欧拉公式，欧拉公式简单的解释

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes第一给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

扩展资料

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在->数学分析里，而且，在复变函数论里也占有很重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”

欧拉公式

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes第一给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

欧拉公式

欧拉公式有4条

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

此函数将两种截然不一样的函数-指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中重要，要优先集中精力的e、i、π、1、0联系起来了。

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，比如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

等等

1、欧拉公式是指以欧拉命名的很多公式。这当中著名的有：复变函数中的欧拉幅角公式-将复数、指数函数和三角函数联系起来，拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。除开这点，还涵盖其它一部分欧拉公式，如分式公式等。

2、分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)，当r=0,1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

3、复变函数：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

由方程系数直接把根表示出来的数学计算公式。

求根公式:ax²+bx+c=0（a≠0）

求根公式:

x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。

sin欧拉公式：e^(ix)=cosx+isinx。欧拉定理：e^(ix)=cosx+isinx。这当中：e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

三角函数是基本初等函数之一是以的视角（数学上经常会用到弧度制，下同）为自变量，观察的视角对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可等价地用与单位圆相关的各自不同的线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性情况的基础数学工具。

欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间相关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。欧拉定理的意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数当中特有的规律（2）思想方式创新：定理发现证明途中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方式上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量相关的量出现了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不可以撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这样的变形途中的不变的性质。（4）提出多面体分类方式：在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。除简单多面体外，还有非简单多面体。比如，将长方体挖去一个洞，连结底面对应顶点得到的多面体。它的表面不可以经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。欧拉定理的证明方式1：（利用几何画板）一步一步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD作为例子分析证法。去除一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因为这个原因，要研究V、E和F关系，只要能去除一个面变为平面图形，证V+F1-E=1（1）去除一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去除全部的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去除一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，故此，加上去除的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方式，都是只剩下一条线段。因为这个原因公式对任意简单多面体都是正确的。　方式2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求全部面内角总和Σα一个方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)・1800+(n2-2)・1800 +…+(nF-2) ・1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ・1800=(2E-2F) ・1800 = (E-F) ・3600 （1）另外一个方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)・1800，则全部V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)・3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)・1800。故此多面体各面的内角总和：Σα=(V-n)・3600+(n-2)・1800+(n-2)・1800 =（V-2）・3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ・3600 =（V-2）・3600 故此， V+F-E=2. 欧拉定理地运用方式（1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，比如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。实际上欧拉公式是有不少的，上面仅是哪些经常会用到的。使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，这当中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，既然如此那，面数F＝x＋y棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12故此，共有12块黑皮子故此黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的针对白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，故此，白皮子全部边的一半是与黑皮子缝合在一起的既然如此那，白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20故此，共有20块白皮子 经济学中的“欧拉定理”在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表达为Q＝Q(L，K)，假设详细的函数形式是一次齐次的，既然如此那，就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽主要还是看Q能不能表示为一个一次齐次函数形式。 因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被默认为劳动对产量的奉献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被默认为资本对产量的奉献，因为这个原因，此式被解释为“产品分配净尽定理”，其实就是常说的全部产品都被全部的要素恰好分配完而没有剩下。因为形式上满足数学欧拉定理，故此，称为欧拉定理。【同余理论中的"欧拉定理"】设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的简系个数)欧拉公式在数学历史上有不少公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 1、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只可以看它而不可以理解它。2、拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。假设P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），既然如此那，X(P)=2，假设P同胚于一个接有h个环柄的球面，既然如此那，X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓扑不变量是拓扑学研究的范围。3、初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是全部小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉证明了下面这个式子：假设n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，这当中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且，两两不等。则有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以证明它。

这个定理内容是：假设一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，既然如此那，它们总有这样的关系：f+ve2

欧拉公式：

复变函数论里的欧拉公式：

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^i∏+1=0.

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只可以看它而不可以理解它。