不定积分四则运算方法，不定积分公式记忆技巧张宇

不定积分没有四则运算法则，唯有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。

1、积分公式法：直接利用积分公式得出不定积分。

2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，后依托于某个积分公式，进一步求得原不定积分。

积分经常会用到法则公式：

1、∫0dx=c 不定积分的定义。

2、∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c。

3、∫1/xdx=ln|x|+c。

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c。

5、∫e^xdx=e^x+c。

6、∫sinxdx=-cosx+c。

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凑微分法

这个方式的诀窍在于要将f（x）dx凑成一个函数的微分形式d【F（x）】是微分运算的你晕孙。凑微分时，经常利用基本积分公式找出原函数，再讲原函数进行微分运算做系数调整

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换元法

主要分为有理式换元法、无理数换元法、三角换元法、对数换元等几种，其重要之处在于设置另外一个变量来替换原积分中的较为复杂的一些。

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分部积分法

当被积的函数是两种不一样类型的函数相乘是，也完全就能够用到分部积分法了

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直接积分法

这时常是应用于简单的积分式子，方式也很简单，只牢牢牢的记在心里，不能忘了住我们的基本积分公式，完全就能够处理这个问题了

先熟悉五个基本的公式：ax^n，sinx，cosx，e^x，lnx，按照乘的求导法则，除的求导法则，隐函数的求导法则，完全就能够将上面的五个基本公式扩展到简单的复合函数了。



在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定，这当中F是f的不定积分。定积分是一个数，而不定积分是一个表达式。

1）∫0dx=c 不定积分的定义

　　2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

　　3）∫1/xdx=ln|x|+c

　　4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

　　5）∫e^xdx=e^x+c

　　6）∫sinxdx=-cosx+c

　　7）∫cosxdx=sinx+c

　　8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

　　9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

　　10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

　　11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

　　12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

　　13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式

　　14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

　　15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

　　16) ∫sec^2 x dx=tanx+c；

　　17) ∫shx dx=chx+c；

　　18) ∫chx dx=shx+c；

　　19) ∫thx dx=ln(chx)+c；

1、不定积分是微积分里一个重要的计算。若F(x)=f(x)，我们称F(x)为f(x)的一个原函数。f(x)的不定积分，定义为f(x)全部的原函数的集合。换句话说，一个函数的不定积分，就是不少原函数构成的。而求原函数，就是把求导逆过来做！



2、不定积分和定积分是两种截然不一样的运算。只是牛顿莱布尼茨公式建立起了它们的联系。不定积分是一种符号运算，其结果是一个函数集合，而不是一个数值。它是求导运算的逆运算。定积分实质上是一个泛函，将区间上满足一定条件的函数映射为一个数值。



3、积分公式主要有请看下方具体内容几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a0）的积分、含有√（a+x^2） （a0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

一、√袭(a²-x²) 一般用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。

二、√(x²-a²)一般用x=a*sect ，∵x²-a² = a²sec²t-a²

= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t

sec函数和tan函数的连续区域完全一样，t的范围取0≤t≤π/2，sect的值从1~+∞，对应tant的值从0~+∞，也可直接去除根号，不需要讨论正负。

三、总结：只要换元为三角函数后的的视角变量取值适合，这两种换元都可以不需要讨论去除根号后的正负问题。

分部积分法：ln(1+x)的不定积分=xln(1+x)-(x/(1+x))的不定积分=xln(1+x)-1的不定积分+(1/(1+x))的不定积分=xln(1+x)-x+ln(1+x)+C

x的不定积分可以直接通过查表的方法计算它的不定积分，在基本积分公式中有

∫x^adx=1/(a+1)*x^(a+1)+C

只将公式中的a当成1，则可以得到x的不定积分公式

∫x^1dx

=1/(1+1)*x^(1+1)+C

=1/2*x^2+C

当然也可利用不定积分的定义计算x的不定积分，因为按不定积分的定义知，求函数的不定积分就是找它的我们全体原函数，只先找到哪个函数的导数等于x就可以，而按导数公式知

(x^2)=2x

故此，(1/2*x^2)=1/2*2x=x

又知常数的导数等于0，故此，x的我们全体原函数为1/2*x^2＋C，即x的不定积分为∫x^1dx=1/2*x^2+C