有关椭圆的所有公式，椭圆的弧长定积分算法

相关椭圆的全部公式？



椭圆公式有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex，椭圆的标准方程是y^2/a^2+x^2/b^2=1。

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。

椭圆的标准方程：焦点在x轴

x²／a²＋y²／b²＝1

焦点在y轴：y²／a²＋x²／b²＝1

椭圆的面积是πab

参数方程：x＝acosΘ y＝bsinΘ

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，主要还是看焦点所在的坐标轴：

1）焦点在x轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

(ab0)

2）焦点在y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1

(ab0)

这当中a0，b0。a、b中很大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当ab时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2

,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在x轴或y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ

，

y=bsinθ

标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是

xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆的面积公式

s=π(圆周率)×a×b(这当中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

或s=π(圆周率)×a×b/4(这当中a,b分别是椭圆的长轴,短轴的长).

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(l)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

l=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)

[椭圆近似周长],

这当中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点p到某焦点距离为pf，到对应准线距离为pl，则

e=pf/pl

椭圆的准线方程

x=±a^2/c

椭圆的离心率公式

e=c/a

椭圆的焦准距

：椭圆的焦点与其对应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式

｜pf1｜=a+ex0

｜pf2｜=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点a,b当中的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系

点m（x0，y0）

椭圆

x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内：

x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上：

x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外：

x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m （1）

x^2/a^2+y^2/b^2=1 （2）

由（1）（2）可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

相切△=0

相离△＜0无交点

相交△＞0

可利用弦长公式：a(x1,y1)

b(x2,y2)

|ab|=d=√(1+k^2)|x1-x2|

=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|

=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a

椭圆的弧长定积分计算公式？

椭圆除了面积有精确解外，其余的都没有精确解。

比如周长可以表示为：

∫[（a^2）(sint)^2 + (b^2)(cost)^2]^(1/2)dt=

(上限2π下限0)

这是著名的椭圆积分，早已由数学家证明没有精确解

圆的弧长公式

弧长公式:弧长=θ*r ,θ是的视角 r是半径

l＝nπr÷180

定积分弧长的计算公式：弧长s=∫根号下[1+y(x)²]dx (x的积分下限a，上限b)。弧长公式中下限为a，上限为b，ab为曲线的端点对应的x的值。弧长意思为曲线的长度。定积分是积分的一种是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。

曲线积分分为：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分。两种曲线积分的区别主需要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；比如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy。

椭圆双曲线全部公式？

椭圆的标准方程共分两种情况： 当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)； 当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)； 这当中a^2-c^2=b^2。 推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)。 双曲线的标准方程分两种情况： 焦点在X轴上时为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a0，b0）。 焦点在Y轴上时为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，（a0，b0）。 双曲线的离心率为：e=c/a 双曲线的焦点在y轴上的双曲线的渐近线为：y=+-（a/b）*x。

拓展资料

平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a|FF'|的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：│PF│+│PF'│=2a 这当中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。 平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数） 这当中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X=a^2/c)。

椭圆的其他定义按照椭圆的一条重要性质其实就是常说的椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，这个时候k应满足一定的条件，其实就是常说的排除斜率不存在的情况

椭圆的标准方程有两种，主要还是看焦点所在的坐标轴： 1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (ab0) 2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (ab0) 这当中a0，b0。a、b中很大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当ab时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(这当中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(这当中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).

椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 这当中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL

椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其对应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B当中的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m （1） x^2/a^2+y^2/b^2=1 （2） 由（1）（2）可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a 椭圆的斜率公式 过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y 双曲线： 数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值自始至终为一定值2a(2a小于F1和F2当中的距离即2a2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。这当中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=长半轴，b=短半轴）

极坐标下积分求椭圆的面积是我不会积分，还是是错的？

这个要用到二重积分。很明显有两个变量需积分。r不是一直等于r2=(ab)2/(a2sinθ+b2cosθ)。 他要从零启动变化，然后渐渐增大到椭圆边界。积分得用椭圆域的极坐标来做， 令x=arcosθ，y=brsinθ 因为s=∫∫dxdy=∫∫abrdrdθ S=∫(0-2π)dθ∫(0-1)abrdr =πab

求椭圆侧面积怎么求？

x²/a² + y²/b² =1 （1） //: 椭圆方程y=b/a √(a²-x²) （2）//: 椭圆在第一象限内的曲线方程，椭圆面积：S= 4(b/a)∫(0-a) √(a²-x²) dx //:曲线(2)第一象限内的积分的4倍，即椭圆面积= 4b/a [a²/2 arcsin(x/a) + x/2 √(a²-x²) + C] ∣ (上限带进a；下限代入0)；= 4b/a [πa²/4 + 0]= πab那就是椭圆面积的积分算法。