海伦公式李永乐，海伦公式什么时候提出的

海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，方便记忆。

古人传说这个公式早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式早出现在->海伦的著作《测地术》中，故此，被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。 表达式为：它的特点是形式漂亮，方便记忆。 古人传说这个公式早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式早出现在->海伦的著作《测地术》中，故此，被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

中文名

海伦公式

外文名

Heron's formula

又称

三斜求积术

表达式

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

提出者

阿基米德

应用学科

数学几何

适用领域范围

三角计算

海伦公式：

利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。（a、b、c分别是三角形三条边的边长，p为三角形周长的一半）。

简介：

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，方便记忆。

古人传说这个公式早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式早出现在->海伦的著作《测地术》中，故此，被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

公式意义：

海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方式和思路，在清楚三角形三边的长而不清楚高的情况下使用海伦公式可以很快更简单方便地得出面积，例如说在测量土地的面积时，不需要测三角形的高，只要能测两点间的距离，完全就能够方便地导出答案。

设三角形的三边a、b、c的对角分别是A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

故此三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

三角形字母的公式有不少，但是，在小学里面唯有三角形的面积=底×高÷2 ，用字母表示是S=ah÷2。

除了三角形的面积，可以用字母表示，还有其他图形的面积，也可用字母表示，

比如，1、长方形的周长=（长+宽）×2， C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4， C=4a

3、长方形的面积=长×宽， S=ab

4、正方形的面积=边长×边长， S=a.a= a²

5、平行四边形的面积=底×高， S=ah

7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2， s=（a＋b）h÷2

1.已知三角形底a，高h，则S=a*h/2

2.已知三角形三边a,b,c，则

（海伦公式）（p=（a+b+c）/2）

S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=(absinc)/2，即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4.设三角形三边分别是a、b、c，内切圆半径为r

则三角形面积S=(a+b+c)r/2

5.设三角形三边分别是a、b、c，外接圆半径为R

则三角形面积=abc/4R

S=2R²·sinA·sinB·sinC

1.三角形面积=1/2×底×高；或者说，三角形面积=(底×高)÷2

2.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（S=（a+b+c）/2）

S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

判断方式

若一个三角形的三边a，b，c（abc）满足

a^2+b^2c^2，则这个三角形是锐角三角形；

a^2+b^2=c^2，则这个三角形是直角三角形；

a^2+b^2c^2，则这个三角形是钝角三角形。

有关定理

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。

中线定理

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

勾股定理

勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容为：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长平方之和一定等于斜边长的平方。

几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB^2+BC^2=AC^2；

勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形。

几何语言：

在△ABC中

∵AB²+BC²=CA²

∴∠ABC=90°