微分方程万能公式，一阶微分方程的一般式

一阶微分方程

假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答

若式子可变形为y=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分解答

二阶微分方程

y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。 　　

1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　

2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

前几天刚考完试，按照常出的题型自己做的总结，期望有用处O(∩_∩)O~

解微分方程，为了得到通解，确实需技巧的，每种类型的方程都拥有自己特定的解法。

function dx=tf(t,x) %保存默认的格式 tf.m

dx=zeros(2,1)；

dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2)；

dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2)；

%%%%%主程序调用

[t,x]=ode45(tf,[0 10],[50000 200]) %[0 10] %时间开始点 ,[50000 200]) 初值设置 没有.但有通用的解法,那就数值解法.数值解法是经常会用到的.也是可以反映数学之有用之处的.

万用公式肯定没有，假设是求数值解或者级数解，有不少类型的方程解法差不多的。

不过假设仅仅指高数里面的微分方程那很容易。

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的重点是辨识要解答的方程是什么类型。

可分离变量型，时常是y=f(x)/g(y)或者y=f(x)g(y)这样的，直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。

求根公式型（涵盖常数变易法公式），时常是y=p(x)y+q(x)的形式或者经很简短的变形完全就能够化为这样的形式，直接套用求根公式解答。

伯努利（Bernoulli）方程，y=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中含有y的2次方以上大部分都是这样的方程。

全微分方程，M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的试题，故此，涉及的全微分方程都是直接就是这样的形式。用凑微分法或者直接积分公式都可以解。

高阶常系数微分方程只要能记住齐次通解公式和两个特解形式完全就能够做任何题。

欧拉方程记下来它的算子法或者是变量代换法也足矣了。

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y'的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。