空间向量距离公式推导，空间向量点到直线的距离公式推导

空间点到平面的距离公式推导：

1、设平面的法向量是n，Q是这平面内任意一点，则空间点P到这个平面的距离：d=|QP·n|/|n|，这里QP表示以Q为起点、P为终点的向量。

距离d是向量QP在法向量n上投影的绝对值，即

d=|PijQP|=||QP|*cos|=||n|*|QP|*cos|/|n|

==|QP·n|/|n|。

2、设直线的方向向量是s，Q是这直线上任意一点，则空间点P转这直线的距离：d=|QP×s|/|s|，这里QP表示以Q为起点、P为终点的向量。距离d是以向量QP、向量s为邻边的平行四边形s边上的高，故此，

d=|QP|*sin=/|s|=|QP×s|/|s|。

两平行线当中的距离公式：

设两条直线方程为。

Ax+By+C1=0。

Ax+By+C2=0。

则其距离公式为｜C1-C2|/√（A²+B²)。

推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为。

d=|Aa+Bb+C2|/√（A²+B²)。

=|-C1+C2|/√（A²+B²)。

=|C1-C2|/√（A²+B²)。

空间向量的距离公式是AB的模的绝对值=根号[（x1-Y1）^2+（x2-Y2）^2]，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

共线向量定理是两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。空间向量分解定理是假设三个向量a、b、c不共面，既然如此那，对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

直接用空间两点当中的距离公式:过原点的和（x,y,z）的向量就是点（x,y,z）,故此，,另一点(a,b,c)到(x,y,z)的距离是:d=√[(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2]

空间向量点到直线距离公式解：

设点A坐标（x1，y1）

直线方程：ax+by+c=0

A到直线的距离=|ax1+by1+c|÷√（a²+b²） 直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）既然如此那，这点到这直线的距离就为：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（1）：过点上做一向量垂直于已知直线，做一平面垂直于刚作直线，设该平面的法向量为m 在该平面上找一点与已知点连接，设该向量为a，则距离d=|a*m|/|m| （2）：平移任一直线，使两直线相交，过两条相交直线做一平面，法向量为m 在两直线上连接任意两点，设该向量为a,则距离d=|a*m|/|m|

空间向量点到直线距离公式解：

设点A坐标（x1，y1）

直线方程：ax+by+c=0

A到直线的距离=|ax1+by1+c|÷√（a²+b²） 直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）既然如此那，这点到这直线的距离就为：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（1）：过点上做一向量垂直于已知直线，做一平面垂直于刚作直线，设该平面的法向量为m 在该平面上找一点与已知点连接，设该向量为a，则距离d=|a*m|/|m| （2）：平移任一直线，使两直线相交，过两条相交直线做一平面，法向量为m 在两直线上连接任意两点，设该向量为a,则距离d=|a*m|/|m|

直线到面的距离公式是:Ax+By+Cz+D=0。

线到平面距离可以转换到点到平面的距离,重要是要清楚平面的法向量：设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0,则法向量n = (A,B,C)设P为平面上的一点,Q为平面外的一点,既然如此那，Q到平面的距离就是向量PQ在法向量n方向上的投影,即|n * PQ| / |n|

求空间两直线距离步骤请看下方具体内容：1、第一将直线方程化为对称式，得到其方向向量n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)。2、再将两向量叉乘得到其公垂向量N=(x,y,z)，在两直线上分别选取点A,B，得到向量AB。

3、求向量AB在向量N方向的投影即为两异面直线间的距离。4、d=|向量N×向量AB|除以|向量N|，设交点为C,D，带进公垂线N的对称式中，又因为C,D两点分别满足一开头的直线方程，故此，得到有关C(或D)的两个连等方程，分别解出来就可以。

设a、b是异面直线，夹角为θ，PQ是其公垂线段（P在a上，Q在b上），|PQ|=d。