三容斥原理所有公式，三集合容斥原理公式怎么理解

三集合容斥问题公式：

（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是，中间三者重叠的部分减去了三次，基本上等同于被挖空了，故此，还得加上它。

（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。

（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数。

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于唯有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。

三集合容斥问题的核心公式请看下方具体内容：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|，S＝A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。



1、三集合容斥原理的实质和二集合容斥原理差不多的，只不过因为又多了一个集合，公式和图形描述都变得更复杂。这当中A和B是两个集合，|A|表示集合A中的元素个数。在理解容斥原理时，完全可以把元素的个数类比做图形的面积。



2、在计数时，一定要注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。

三集合容斥公式：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C |

我们先看一个题，了解下什么是三集合容斥问题问题。

【例题一】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（ ）

A.1人 B.2人 C.3人 D.4人

本例中，学生学三门课，学这三门课的学生当中存在交叉的情况，这是一个典型的三集合容斥问题。

公职考试公务员行政职业能力测验：数量关系中的三集合容斥问题

三集合容斥问题公式：

（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是，中间三者重叠的部分减去了三次，基本上等同于被挖空了，故此，还得加上它。

（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。

（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数。

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于唯有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。

我们再来看例题一：

【剖析解读】例题一满足公式（1）的情况，设什么课都没选的人员数量是x，则按照公式（1）：40+36+30-28-26-24+20=50-x，得x=2。故此，什么课都没选的考生有2人。

【例题二】某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参与长跑的有49人，参与跳远的有36人，参与短跑的有28人，只参与这当中两个项目标有13人，参与都项目标有9人。既然如此那，参与该次运动会的总人员数量为？（）

A.75 B.82 C.88 D.95

【剖析解读】这道题满足公式（2）的应用条件，故此，49+36+28-13-2*9=总人员数量=82

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|，S＝A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。



1、三集合容斥原理的实质和二集合容斥原理差不多的，只不过因为又多了一个集合，公式和图形描述都变得更复杂。这当中A和B是两个集合，|A|表示集合A中的元素个数。在理解容斥原理时，完全可以把元素的个数类比做图形的面积。



2、在计数时，一定要注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，大家研究出一种新的计数方式，这样的方式的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的全部对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，让计算的结果既无遗漏又无重复，这样的计数的方式称为容斥原理。



3、假设被计数的事物有A、B、C三类，那么(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—不仅是A类又是B类的元素个数—不仅是A类又是C类的元素个数—不仅是B类又是C类的元素个数+不仅是A类又是B类

三集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而，ABC两两交集中应减两次，然而，却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，故此，应该加上多减的一次ABC的交集。

三集合容斥问题的核心公式：

标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|，只满足两个条件的-2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

三集合容斥问题公式：

（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是，中间三者重叠的部分减去了三次，基本上等同于被挖空了，故此，还得加上它。

（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。

（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都没有满足的个数。

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于唯有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。

三集合容斥原理标准型：总个数-都没有满足的个数=A+B+C-AB-BC-AC+ABC。这当中A、B、C代表满足不一样条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足这当中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。

三集合容斥原理非标准型：总个数-都没有满足的个数=A+B+C-只满足两个条件的数量-2×ABC。

容斥问题三个集合的公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都没有满足的个数。把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是，中间三者重叠的部分减去了三次，基本上等同于被挖空了，故此，还得加上它。

三集合斥问题的核心公式：

标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，针对以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。