一阶线性常微分方程通解公式微分方程通解公式

针对一阶齐次线性微分方程：

dy/ dx + P(x)y =0

其通解形式为：

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，这当中：a、b由初始条件确定。

请看下方具体内容例题

全微分方程通解公式：udx+vdy=0。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割

一阶微分方程假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答若式子可变形为y=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分解答二阶微分方程y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2. 　　1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解可以用公式：y=e^[-∮P(x)dx]*{∮Q(x)e^[∮P(x)dx]dx+C}求得

一阶常系数微分方程的通解公式是：y=Ce^(-2x)+x-1/2。如式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)就可以。

若式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答。若式子可变形为y=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答。若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分解答。

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]

y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数)

y=(x-2)³ C(x-2)

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。



扩展资料：

形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方62616964757a686964616fe78988e69d8331333431333963程中有关Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项有关y、y的次数为0或1。

针对一阶非齐次线性微分方程：



其对应齐次方程:



解为：



令C=u(x)，得:



带进原方程得：



对u’(x)积分得u(x)并带进得其通解形式为：



这当中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此就可以清楚的知道，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”解答.

∵由齐次方程dy/dx+P(x)y=0

==dy/dx=-P(x)y

==dy/y=-P(x)dx

==ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)

==y=Ce^(-∫P(x)dx)

∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)

于是,按照常数变易法,设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为

y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是有关x的函数)

代入dy/dx+P(x)y=Q(x),化简整理得

C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)

==C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx)

==C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数)

==y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx)

故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是

y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数).

一、 一阶微分方程

dy判断特点: ,fxy(,)dx

dy类型一:(可分离变量的方程) ,gxhy()()dx

dy解法(分离变量法):，然后两边同时积分。,gxdx()hy()

dy类型二:，,PxyQx()()(一阶线性方程) dx

,PxdxPxdx()(),,解法(常数变易法): yeCQxedx(()),，,

dy,,fxyftxty(,)(,)类型三:(一阶齐次性方程) dx

y解法(换元法): 令类型一u,,x

dynP()y=Q(x)y类型四:(伯努利方程) ，xdx

dy,,nn1，,,()()类型二解法(同除法): yPxyQxdx

二、 可降阶的高阶微分方程

()n类型一: yfx,()

du(1)n,令多次积分求,,,,()()uyfxfx解法(多次积分法):dx

类型二: yfxy(,),

dp令一阶微分方程pyfxp,,,,(,)解法: dx

类型三: yfyy(,),

dpdpdydp令类型二pypfyp,,,,,,(,)解法: dxdydxdy

三、线性微分方程

yPxyQxy()()0，，,类型一:(二阶线性齐次微分方程)

解法:找出方程的两个任意线性不有关特解:yxyx(),()12

则: yxcyxcyx()()(),，1122

类型二:(二阶线性非齐次微分方程)yPxyQxyfx()()()，，,

解法:先找出对应的齐次微分方程的通解:yxcyxcyx()()(),，31122

再找出非齐次方程的任意特解，则:yx()yxyxcyxcyx()()()(),，，pp1122

类型三:(二阶线性常系数齐次微分方程)ypyq0，，,

2,,,ppq42解法(特点方程法):,,,，，,,,pq01,22

,,xx212(一) ,,,,,,,,，pqycece40,,1212

,x(二) ,,,,,,,，0(),,,yccxe1212

,x(三),,,,，,,,,，0,(cossin),,,,,,,,iiyecxcx1212

类型四:(二阶线性常系数非齐次微分方程) ypyqfx()，，,

解法(还未确定系数法):

,xyx()(1)型:先找出对应齐次微分方程的通解fxPxe()(), 3m

,不是特点方程的根，k,0,

,kx, ,

讲解一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解解答举例，还有二阶微分方程可用该通解解答的情形。

一、方程通解公式

一阶非齐次线性微分方程的剖析解读式为：y+p（x）=q(x),

则其通解表达式请看下方具体内容：y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

二、通解公式的实质上应用

本例中，p(x)=2x，q(x)=4x.

本例中，p(x)=-1/x，q(x)=2x^2.

本例中，p(x)=1/x，q(x)=sinx/x.

本例中，先要将y前面的系数x变形除后，得到：p(x)=1/x，q(x)=e^x/x.

本例中，p(x)=-a，q(x)=e^mx.

此例中，要反过来用一阶非齐次线性微分方程的通解公式，这当中：p(y)=-3/y，q(y)=-y/2.

三、用公式求特解情况举例

本例中p(x)=1/x，q(x)=4/x，求满足y(x=1)=0时的特解。

本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3，q(x)=1，求满足y(x=1)=0时的特解。

四、二阶微分方程能够让用通式解答举例

y+y/x=4，这个时候先对y根据通式公式来解答，再对y积分解答得到y，通解中含有两个常数系数c1和c2，这个时候P=1/x，Q=4。

y=y+x，这个时候先对y根据通式公式来解答，再对y积分解答得到y，通解中含有两个常数系数c1和c2，这个时候P=-1，Q=x。

xy+y=lnx，这个时候先对y根据通式公式来解答，再对y积分解答得到y，通解中含有两个常数系数c1和c2，这个时候P=1/x，Q=lnx/x.