椭圆万能公式，椭圆通用方程推导

椭圆与其他两种形式的圆锥截面有不少相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可被定义为一组点，让曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的一样点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2当中的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了表达方便设定的参数

当焦点在x轴时，椭圆的通用方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；

当焦点在y轴时，椭圆的通用方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)。

圆锥曲线有数有形，在高中数学全部章节知识中的学习欢迎度应属靠前。但也因为几何本身的博大精深，这个在亚历山大前期由玩几何的高手-阿波罗尼奥斯创建的数学分支，带给了2023多年后面对圆锥曲线学习时的压力山大。

“圆规正传”，回答问题。高中圆锥曲线中相关椭圆的基本重要内容及核心考点、经常会用到结论，还有一部分解题思路与方式，小结请看下方具体内容：

一、基本重要内容及核心考点

1、椭圆的两个定义：满足“（1）到两定点距离之和为常数”或“（2）到一定点的距离与到一定直线的距离之比e为常数（0e1）”的点的轨迹。

2、椭圆的标准方程：考虑焦点在x轴（即长轴在x轴）与y轴（即短轴在y轴）的两种情形。

3、椭圆的几何性质：

（1）图象

（2）对称中心（原点）与对称轴（x轴或y轴）

（3）顶点（a或b）

（4）焦点（c）

（5）范围（x与y的取值范围）

（6）焦距（|F1F2|=2c）

（7）长轴（2a）与短轴（2b）

（8）离心率（e=c/a）

（9）准线方程（区分焦点在x轴或y轴）

（10）焦准距

4、点与椭圆的位置关系：

（1）点在椭圆内（1）

（2）点在椭圆上（=1）

（3）点在椭圆外（1）

5、直线与椭圆的位置关系：

（1）相离（∆0，即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程无解）

（2）相切（∆=0，即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程有一样解）

（3）相交（∆0，即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程有两个不一样解）

二、经常会用到结论

这里给出了30条结论及其简要的剖析解读过程，供参考，详细内容查看图片。

三、一部分方式

1、解答椭圆标准方程的大多数情况下方式：

（1）利用定义和几何性质直接得出a、b、c；

（2）还未确定系数法：设出椭圆标准方程、或大多数情况下方程形式、或椭圆系方程形式，依据已知条件建立有关a、b、c或m、n等有关系数的方程组，解方程组得出系数。

注：应明确焦点在x轴还是y轴。

2、解答椭圆离心率的大多数情况下方式：

（1）利用定义和几何性质直接得出a、c，代入离心率公式得解；

（2）转化齐次式：依据已知条件构造a、c一元或二元齐次方程，方程两边同时除以a或a方，转化为有关e或e方的一元一次或二次方程，进一步得解e值（针对解答e的取值范围同样适用）

（3）已知焦点三角形的含焦两个内角值，利用正弦定理解答。

3、解答与椭圆相关的取值范围或值问题应考虑的源不等关系（作为已知条件使用）：

（1）长短轴：ab

（2）离心率：0e1（ac）

（3）椭圆上任一点横纵坐标范围：-a=x=a，-b=y=b（焦点在x轴）

（4）椭圆上任一点到焦点距离范围：a-c=|PF|=a+c

（5）点在椭圆内/外：针对标准方程来说，若点在椭圆内，则"="要改成“”；若点在椭圆外，则"="要改成“”

（6）直线与椭圆相交：若题干明确给出直线与椭圆相交（两个交点），则联立直线与椭圆方程消一元后得到的一元二次方程满足∆0

-------------

更多有关高中数学基本重要内容及核心考点、经常会用到结论及解题思路与方式，欢迎点击我主页内的有关文章，谢谢！

这部分重要内容及核心考点不少啊。第一是一部分基本概念，什么焦点，焦距，实轴，虚轴，准线方程，还有椭圆的第一定义和第二定义的来由。然后是就是线与椭圆相交，相切的问题，这部分大多数情况下的都带有参数，而且，会让你求什么表达式，还有极值什么的，并且这部分比较容易和几何，函数，已经不等式的主要内容联系上，综合性比很强，也很难。

第一看椭圆的标准方程为：

X^2/a^2+y^2/b^2=1

两边同时乘以a^2b^2得：

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2

对应系数常数化得：

Ax^2+By^2=C.

此方程即为椭圆的大多数情况下方程，但要注意的是：

A≠B,且A,B,C都为正数。

补充：椭圆与圆很相似。不一样之处在于椭圆有不一样的 x 和 y 半径，而圆的 x 和 y 半径是一样的。在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是同一个常数的点的轨迹。

大多数情况下式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

(a,b,c不为零)。

标准式x2/a2+y2/b2=1(a2大于b2)。

椭圆的标准方程：

1，焦点在x轴上：即a＞b＞0，x²/a²+y²/b²=1 2、焦点在y轴上：即b＞a＞0，x²/b²+y²/a²=1 大多数情况下方程：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，A＞0,，B＞0,，A≠B 中心点在原点：Ax²+By²=1，A＞0,，B＞0,，A≠B

椭圆的第一定义：平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆，即：│PF│+│PF'│=2a。这当中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│=2c或者y=±a^2/c)。　　椭圆的其他定义：按照椭圆的一条重要性质其实就是常说的椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，这个时候k应满足一定的条件，其实就是常说的排除斜率不存在的情况切线与法线的几何性质　　定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，则∠APF1=∠BPF2。　　定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，主要还是看焦点所在的坐标轴：　　1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (ab0)　　2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (ba0)　　这当中a0，b0。a、b中很大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称 F点在Y轴轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当ab时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m0，n0，m≠n)。既标准方程的统一形式。椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1大多数情况下方程：Ax^2；+Bxy+Cy^2；+Dx+Ey+F=0 (A.C不为0)公式椭圆的面积公式　　S=π(圆周率)×a×b(这当中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).　　或S=π(圆周率)×A×B/4(这当中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式　　椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。　　椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)²)dt≈2π√((a²+b²)/2) [椭圆近似周长], 这当中a为椭圆长半轴,e为离心率　　椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则　　e=PF/PL椭圆的准线方程　　x=±a^2/c椭圆的离心率公式　　e=c/a(0