立体角公式推导，立体几何所成角的公式是什么

根据立体角定义：以圆锥体的顶点为球心，半径为R的球面被锥面所截得的面积S，则圆锥体的空间部分对应的立体角

Ω=S/R^2，为简单方便起见，常取R=1,这个时候，以圆锥体的顶点为球心所截取的单位球面的面积，数值上等于圆锥体所对应的立体角。

这个定义与平面角定义还是很类似的：以射线的顶点为圆心，做一个圆，当射线绕着垂直于圆面的轴转动时，射线在圆上扫过一段圆弧，圆弧与半径之比，叫做这段圆弧 对应的平面角（圆心角）

不难理解，全部的三维空间对应的立体角，就是整个单位球面的面积4*Pi.

1、向量法，利用公式cosθ=|mn|/(|m|*|n|)（锐角）或cosθ=-|mn|/(|m|*|n|)（钝角）

2、三垂线定理及其逆定理

（1）在这当中一个平面内找一点，作另一个面的垂线。大多数情况下情况下这个点是平面边界上的特殊点

（2）过垂足向棱作垂线

（3）连接垂足与斜足就可以得到二面角。

有的时候，也可利用定义法、垂面法、面积射影定理等，多的当然还是三垂线定理。

立体几何中余弦定理公式为cosa＝n1，n2 点乘除以模乘，正弦可以通过正余弦平方和为1，来计算

一个任意形状的封闭锥面所包含的空间称为立体角，用Ω表示，单位Sr(球面度)

根据立体角定义：以圆锥体的顶点为球心，半径为R的球面被锥面所截得的面积S，则圆锥体的空间部分对应的立体角

Ω=S/R^2，为简单方便起见，常取R=1,这个时候，以圆锥体的顶点为球心所截取的单位球面的面积，数值上等于圆锥体所对应的立体角。

这个定义与平面角定义还是很类似的：以射线的顶点为圆心，做一个圆，当射线绕着垂直于圆面的轴转动时，射线在圆上扫过一段圆弧，圆弧与半径之比，叫做这段圆弧 对应的平面角（圆心角）

不难理解，全部的三维空间对应的立体角，就是整个单位球面的面积4*Pi.

一般是求直线与平面所成的角的正弦值,假设要求余弦，可以先求正弦再求余弦.

而求直线与平面所成的角的正弦值是利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来转化的,简单地画张图,你就可以发现,直线的方向向量与平面的法向量的夹角随着你所用的直线的方向向量与平面的法向量的不一样而有两种情形,但这两种情况的夹角是互补的!

当直线的方向向量与平面的法向量夹角为锐角时,通过直角三角形可以清楚 ,直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量夹角互余,因为这个原因直线与平面所成的角的正弦就等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦,

当直线的方向向量与平面的法向量夹角为钝角时,其补角跟直线与平面所成的角互余,因为这个原因因为这个原因直线与平面所成的角的正弦就等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的相反数；

综合以上分析,直线与平面所成的角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值；而向量夹角是通过数量积来达到的.这样你弄透了，,还需要背么?也永远不会忘记了.你画张图,自己也可以把公式写下来了吧?

另外,说到这里,补充一点：点到面的距离,正是借助直线与平面所成的角来处理的.清楚这点关系,用向量求点到面的距离也一次性处理了.当然,求点到面的距离还有等体积法等等.

细说，东西太多了，简单地说吧：1、综合法：线线角、线面角、面面角都要先找到那个能说明它的平面角，把空间的角问题转化为平面角问题来解。

经常会用到的立体图形体积公式：长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）　　正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）　　圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】　　圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】　　角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】　　柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高） 表面积的公式 　　1、柱体　　（1）棱柱　　每个面的面积相加　　）特殊长方体、正方体（　　长方体：S=2(ab+ah+bh)　　正方体：S=6a^2　　（2）圆柱　　S=2πr^2+2πrh　　2、锥体　　（1）棱锥　　每个面的面积相加　　（2）圆锥　　S=πr^2+πrl　　3、台体　　（1）棱台　　每个面的面积相加　　（2）圆台　　S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l　　4、球　　S=4πr^2

长方形的周长=（长+宽）×2

正方形的周长=边长×4

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

三角形的面积=底×高÷2

平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

直径=半径×2 半径=直径÷2

圆的周长=圆周率×直径=

圆周率×半径×2

圆的面积=圆周率×半径×半径

长方体的表面积=

（长×宽+长×高＋宽×高）×2

长方体的体积 =长×宽×高

正方体的表面积=棱长×棱长×6

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

圆柱的体积=底面积×高

圆锥的体积=底面积×高÷3

长方体（正方体、圆柱体）

的体积=底面积×高

平面图形

名称 符号 周长C和面积S

正方形 a—边长 C＝4a

S＝a2

长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)

S＝ab

三角形 a,b,c－三边长

h－a边上的高

s－周长的一半

A,B,C－内角

这当中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2

＝ab/2·sinC

＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

＝a2sinBsinC/(2sinA)

四边形 d,D－对角线长

α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα

平行四边形 a,b－边长

h－a边的高

α－两边夹角 S＝ah

＝absinα

菱形 a－边长

α－夹角

D－长对角线长

d－短对角线长 S＝Dd/2

＝a2sinα

梯形 a和b－上、下底长

h－高

m－中位线长 S＝(a+b)h/2

＝mh

圆 r－半径

d－直径 C＝πd＝2πr

S＝πr2

＝πd2/4

扇形 r—扇形半径

a—圆心的视角数

C＝2r＋2πr×(a/360)

S＝πr2×(a/360)

弓形 l－弧长

b－弦长

h－矢高

r－半径

α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα)

＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2

＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2

＝r(l-b)/2 + bh/2

≈2bh/3

圆环 R－外圆半径

r－内圆半径

D－外圆直径

d－内圆直径 S＝π(R2-r2)

＝π(D2-d2)/4

椭圆 D－长轴

d－短轴 S＝πDd/4

立方图形

名称 符号 面积S和体积V

正方体 a－边长 S＝6a2

V＝a3

长方体 a－长

b－宽

c－高 S＝2(ab+ac+bc)

V＝abc

棱柱 S－底面积

h－高 V＝Sh

棱锥 S－底面积

h－高 V＝Sh/3

棱台 S1和S2－上、下底面积

h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3

拟柱体 S1－上底面积

S2－下底面积

S0－中截面积

h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6

圆柱 r－底半径

h－高

C—底面周长

S底—底面积

S侧—侧面积

S表—表面积 C＝2πr

S底＝πr2

S侧＝Ch

S表＝Ch+2S底

V＝S底h

＝πr2h