数列求和的方法总结，数列求和的十二种方法是什么

数列求和的方式总结？

各位考生好常见的数列求和方法有7种,分别是:裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、公式法、分组求和法、数学归纳法和观察法。

1，公式法，从名字中我们就可以看得出来就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行解答。

假设一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和就可以用倒序相加法。比如等差数列的求和公式，完全就能够用该方式进行证明。



形如An=Bn∙Cn，这当中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，第一列出Sn，记为（1）式；再把（1）式中全部项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为（2）式；然后（1）（2）两式错开一位作差，以此得到{An}的前n项和。这样的数列求和方法叫做错位相减。

备注：等差数列的通项常见形式为an=An+B(这当中A、B为常数)，等比数列通项常见的形式为an=Aqn-m(这当中A、m为常数)

把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这样的数列求和方法叫做裂项相消。

常见裂项相消的情况：

有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列一定程度上的拆开，就可以分成若个等差，等比或者其他常见数列(就可以用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，后面再进行合并就可以算出原数列的前n项和。



大多数情况下地，若数列{an}满足：存在一个小的正整数T，让an+T=an针对一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，这当中T叫做数列{an}的周期， 按照数列的周期性进行求和。

数学归纳法是一种重要的数学方式，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明能够有一个重要作用。

1、分组法求数列的和： 如an=2n+3n ，an=2n+3n ，an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的大、小项的方式：

（1） an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 　（2） (an0) 如an= 　（3） an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列 中,相关Sn 的值问题-经常会用到邻项变号法解答：

(1)当 a10,d0时，满足{an}的项数m让Sm取大值.

(2)当 a10时，满足{an}的项数m让Sm取小值. 　在解含绝对值的数列值问题时,注意转化思想的应用。

数列求和的十二种方式？

01

先判断要用哪一种求和方式，从递推公式，推出通项公式的方式，大多数情况下是累加，累乘。进一步用求和公式求和

02

马上套用公式

错位相减求和:

形如An=BnCn，这当中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把全部式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减就可以。

比如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；

当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不一样，这样写看的更了解些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

裂项求和

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方式一样是处理一部分特殊数列的求和问题的经常会用到方式.这些独具特点的方式,就单个来说,确实精巧,

例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20

＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)

＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)

＝1-1/5=4/5

分组求和

就是当CN=AN+BN是，AN为等差数列，BN为等比数列。求CN的前N项和TN

TN为 AN的前N项和SN加上BN的前N项和QN。SN和QN都用公式求。TN就很好解了。

倒序相加求和

实际上简单的例子就是推等差数列前N项和的例子了。

SN＝A1+A2+……AN

SN=AN+A(N-1)+……A1

2SN=N(AN+A1)

SN=N(AN+A1)/2

数列求和的七种方式及例题？

回答问题:数列1/1x3十1/3x5十1/5×7十1/7x9十…1/(2n十1)(2n一1)，这个数列前n项和Sn=[(1一1/3)十(1/3一1/5)十(1/5一1/7)十(1/7十1/9)+…1/(2n一1)一1/(2n十1)]x2=[(1一1/(2n十1)]x2=4n/(2n十1)。

1、倒序相加法

倒序相加法假设一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，既然如此那，求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。

2、分组求和法

分组求和法一个数列的通项公式是由哪些等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

3、错位相减法

错位相减法假设一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，既然如此那，这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

4、裂项相消法

裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一部分项可以相互抵消，以此求得其和。

5、乘公比错项相减（等差×等比）

这样的方式是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方式，这样的方式主要用于求数列{an×bn}的前n项和，这当中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

剖析解读：数列{cn}是由数列{an}与{bn}对应项的积构成的，这种类型的才适应错位相减，（课本中的等比数列前n项和公式就是用这样的方式推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，后再综合成三种情况

6、公式法

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行解答。运用公式解答的须知：第一要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列后面，再计算。

7、迭加法

主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，这当中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把全部的式子加到一起，经过整理，可得出an，以此得出Sn

例题：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2

剖析解读：Sn=a1+a2+a3+...+an （1）

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 （2）

（1）+（2）得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)

回答问题:等差数列求和例题，1，3，5，7…(2n一1)，这个等差数列a1=1，公差d=2，an=2n一1，则Sn=[1十(2n一1]xn÷2=n^2。等比数列求和例题，1，2，4，…2^n，a1=1。公比q=2，则Sn=a1X[1一2^n]/(1一2)=2^n一1。

数列求和的基本方式？

数列求和的基本方式和技巧

一.公式法

假设一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.

二.倒序相加法

假设一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,既然如此那，求这个数列的前n项和就可以用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.

三.错位相减法

假设一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,既然如此那，这个数列的前n项和就可以用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

四.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一部分项可以相互抵消,以此求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后不是说肯定只剩下第一项和后一项,也许前面剩两项,后面也剩两项,前后剩下项是对称产生的.

五.分组求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.

六.并项求和法

一个数列的前n项和中,若可两两结合解答,则称之为并项求和法.形如 类型,可采取两项合并解答.

数列知识整合

1、在掌握并熟悉等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握并熟悉解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方式在解题实践中的详细指导作用，灵活地运用数列知识和方式处理数学和实质上生活中的相关问题。

2、在处理综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方式的认识，沟通各种知识的联系，形成更完整的知识互联网，提升分析问题和处理问题的能力。

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方式分析问题与处理问题的能力。

3、培养学生擅长于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方法，提升学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方式。

扩展资料

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高中毕业考试对数列的考核比较全面，等差数列，等比数列的考核每一年都不会遗漏。相关数列的考试试卷常常是综合题，常常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，考试试卷也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

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