sin和cos的欧拉公式，欧拉公式适用条件是,压杆的柔度

正弦函数的欧拉公式为：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)，余弦函数的欧拉公式为：cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2. 需要大家特别注意的是，虽然我们可以检验(sinx)^2+(cosx)^2=1，但却不可以用这样的检验法来证明这两个公式。不然就有可能会推出其它错误的结论。那这两个公式究竟是咋来的呢？

假设用逆向思维反推，我们可以由正弦函数的欧拉公式得到e^(ix)-e^(-ix)=2isinx；由余弦函数的欧拉公式得到e^(ix)+e^(-ix)=2cosx. 把它们当成是有关e^(ix)和e^(-ix)的二元一次方程组，两式相加可以得到e^(ix)=cosx+isinx；两式相减则得到e^(-ix)=cosx-isinx. 其实，记f(x)=e^(ix)=cosx+isinx，既然如此那，就有f(-x)=e^(-ix)=cosx-isinx，其实就是常说的说，它们是同一个公式的两种形态。

检验e^(ix)=cosx+isinx需运用到e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!；

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!, (n=2m)；

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!, (n=2m+1).

用ix替换e^x的省略余项的麦克劳林公式中的x，完全就能够得到：

e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+i(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!

=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!)

=cosx+isinx.

这个问题就证明了sin和cos的欧拉公式成立。

然而，欧拉在推导公式时，反而反过来的。他是先由e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式，将e^x的x替换成±ix，推出e^(ix)=cosx+isinx和e^(-ix)=cosx-isinx。再把两者当成有关sinx和cosx的二元一次方程组，以此得到sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)和cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2的。

此外对x取π，代入e^(ix)=cosx+isinx得到e^(πi)+1=0，即e^(πi)=-1，它被誉为“上帝创造的公式”。

欧拉公式还有不少拓展，这里没办法一一尽述，但是，它的奇妙之处吸引了大量数学家对其进行研究，有兴趣我们也可继续探究下去。

欧拉公式的适用范围是：适用于小变形、线弹性范围的压杆，即临界应力应小于材料的比例极限。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。欧拉公式是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；还有被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

欧拉公式

(这当中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，这当中e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在->数学分析里，而且，在复变函数论里也占有很重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．当

时，恒等式

更是被数学家们称为“上帝创造的公式”．

两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；