散度计算公式，直角坐标系的散度公式推导

【散度运算法则推导】

令A=Pi+Qj+Rk

则div(uA)=∂uP/∂x+∂uQ/∂y+∂uR/∂z

=P∂u/∂x+u∂P/∂x+Q∂u/∂y+u∂Q/∂y+R∂u/∂z+u∂R/∂z

=udivA+Agradu

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

按照运算规则就可以推出:

　　1、▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz

　　Zhe样标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场,Gai矢量场反应了标量场A的分布.

　　2、 ▽·A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz

　　3、 ▽×A=(dAz/dy-dAy/dz)*i+(dAx/dz-dAz/dx)*j+(dAy/dx-dAx/dy)*k

　　You此可见：数量（标量）场的梯度与矢量场的散度和Xuan度可表示为：gradA=▽A,divA=▽·A,rotA=▽×A

数量积又称为内积ab=ac+bd叉乘又称外积至少需要在3维空间中定义，二维未必可以算的了。因为叉乘的结果需于两个叉乘的向量垂直，两个平行向量的叉乘等于0

柱坐标旋度公式：▽≡i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz。

运算规则：▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz这样标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布，那就是梯度是个矢量。

▽·A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz这个是散度！是个标量。

旋度

是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元导致的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。

旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。举例来说，假设一台滚筒洗衣机运行时，从前方看来，内部的水流是逆时针旋转，既然如此那，中心水流速度向量场的旋度就是朝前方向外的向量。

那个向量我用R表示了，不然的话不好区分。

grad(e^r)=((e^r)x , (e^r)y, (e^r)z)=((e^r)*(rx), (e^r)*(ry), (e^r)*(rz))=((e^r)*(x/r), (e^r)*(y/r), (e^r)*(z/r))

div(R)=3

按照一个标量函数和一个矢量函数的积，求散度的公式

div[(e^r)*R]=grad(e^r)*R+(e^r)*div(R)

=(e^r)*(x^2/r)+(e^r)*(y^2/r)+(e^r)*(z^2/r)+3e^r

=e^r(x^2/r+y^2/r+z^2/r)=r*(e^r)+3e^r

=(r+3)e^r

2

grad(1/r^3)=((1/r^3)x , (1/r^3)y, (1/r^3)z)

=((-3/r^4)*(rx), (-3/r^4)*(ry), (-3/r^4)*(rz))

=((-3/r^4)*(x/r), (-3/r^4)*(y/r), (-3/r^4)*(z/r))

=(-3x/r^5, -3y/r^5, -3z/r^5)

div(R)=3

故此，

div(R/r^3)=grad(1/r^3)*R+(1/r^3)*div(R)

=(-3/r^5)(x^2+y^2+z^2)+3/r^3

=(-3/r^

5)*(r^2)+3/r^3

=0

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。

当div F0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。回答结束了好好好好好好好好

散度梯度旋度实际上是物理上的一种概念，主需要在流体力学里应用！

在流体力学数学基础里可以查到他们的意义与关系！高数里也有简单涉及，假设想深入了解，建议你好去查查相关流体力学基础的东西！这当中有一个名词叫哈密跟算子，散度梯度旋度跟这一名词的关系明白了，其它的有关运算也就可以了！

这是标量函数，没法求散度旋度，他俩是对向量。梯度：(y^2,2xy-z^3,-3yz^2)