散度计算方法及答案，球坐标系下的旋度公式

在正交曲线坐标系中的散度公式。

正交曲线坐标系

第一，我们考虑是三维欧几里得空间\\mathbf{R}^3 。一个点P\\in\\mathbf{R}^3可以使用笛卡尔坐标(x_1,x_2,x_3)来描述，也可使用曲线坐标(u_1,u_2,u_3)来描述。这里这两个坐标当中的关系通过可逆的变换方程给出:

u_j=u_j(x_1,x_2,x_3),\\quad j=1,2,3

还有

x_j=x_j(u_1,u_2,u_3),\\quad j=1,2,3

曲面u_1=\ext{constant},u_2=\ext{constant},u_3=\ext{constant}叫做坐标曲面，它们两两相交所得到的曲线叫做坐标曲线，坐标轴是由这里坐标曲线的切向量决定的，切向量\\bm{h}_1,\\bm{h}_2,\\bm{h}_3可以通过计算偏导数得到：

\\bm{h}_j=\\frac{\\partial\\bm{x}}{\\partial u_j}=\\left(\\frac{\\partial x_1}{\\partial u_j},\\frac{\\partial x_2}{\\partial u_j},\\frac{\\partial x_3}{\\partial u_j}\☆ight),\\quad j=1,2,3

▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz，标量场通过哈密顿算子运算就成了矢量场，该矢量场反应了标量场的分布。

点乘运算

▽·A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz

叉乘运算

▽×A=(dAz/dy-dAy/dz)*i+(dAx/dz-dAz/dx)*j+(dAy/dx-dAx/dy)*k

标量场的梯度与矢量场的散度、旋度计算公式：

[梯度]：gradA=▽A；

[散度]：divA=▽·A；

[旋度]：rotA=▽×A.

A-标量。

就是球坐标系下解答散度的公式，考试教材文章主体或者附录中都会有这个公式的，E只和r相关系，并且唯有r方向的分量，其大小随着r的增大而增大，与xita，fai都没相关系，照着球坐标系散度公式代入计算完全就能够了。E=Erer+Eθeθ+Eφeφ=(r^3+Ar^2)er+0+0Er=r^3+Ar^2，Eθ=Eφ=0把Er代入到第三个式子，求导就可以。

div[(e^r)*R]=grad(e^r)*R+(e^r)*div(R)

=(e^r)*(x^2/r)+(e^r)*(y^2/r)+(e^r)*(z^2/r)+3e^r

旋度的散度为零是算出来的。

至于散度的旋度，因为散度是标量，不是矢量，故此，计算散度的旋度就是计算标量的旋度，but计算旋度需各个方向的分量，so这没办法计算，其实就是常说的说旋度和散度不是对称或对偶关系，不可以简单类比。

if你给一个标量场赋向，促使其成为每一点都拥有方向的场，其实就是常说的矢量场，那就可以计算。其实就是常说的说单的依据散度没办法再计算旋度，除非你再添加条件！

梯度是矢量,其大小为该点函数的大变化率,即该点的大方向导数.

梯度的方向为该点大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向,它指向函数增多的方向.

散度

散度指流体运动时单位体积的改变率.简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散.其计算其实就是常说的我们常说的“点乘”.

散度是标量,物理意义为通量源密度.

散度为零,说明是无源场；散度不为零时,则说明是有源场（有正源或负源）

分别求三个变量的偏导数，偏导数分别乘三个轴的单位向量，然后加到一起 圆柱坐标系中梯度、散度和旋度

高斯定理数学公式：f(x,y)=x^2+2xy+y^2。高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（一般情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。