求一个向量绕一轴旋转后所得向量，给出一个矩阵和一个向量怎么求旋转矩阵的

设向量t＝AB.A在O-xyz的坐标是（x,y,z）[只谈A.有关B,有同样的结果，]坐标系O-x1y1z1为z1＝z.y1＝prec.即从上向下看xOy绕O逆时针旋转θ1得到x1Oy1则A在O-x1y1z1的坐标是（x1,y1,z1）。从空间剖析解读几何有公式：x1＝xcosθ1+ysinθ1, y1＝-xsinθ1+ycosθ1, z1＝z设A绕轴prec（即y1）顺时针旋转达到A1.则A1有关O-x1y1z1的坐标与A有关O-x2y2z2的坐标（x2,y2,z2）差不多的，坐标系O-x2y2z2为y2不动，从y2正向看。x1Oz1绕O逆时针旋转θ2得到x2Oz2,从空间剖析解读几何有公式：x²＝x1cosθ2-z1sinθ2, y2＝y1,z2＝x1sinθ2+z1cosθ2.后计算A1在O-xyz的坐标（x3,y3,z3）x3＝x2cosθ1-y2sinθ1, y3＝x2sinθ1+y2cosθ1, z3＝z2这样，我们得到向量t的起点A旋转后的点A1的坐标，同样可以计算B旋转后的点B1的坐标.t旋转后的位置就完全确定了。

先求旋转的视角和旋转轴，这是旋转的两个基本要素

然后按照罗德里格旋转公式写出旋转矩阵

设这个向量是一旋转轴方向的单位向量，绕w旋转θ的旋转矩阵是

详细的推导和证明可在网络在线搜一下，重要，要优先集中精力的就是罗德里格旋转公式，可以用来计算三维空间的旋转

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元导致的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。

设 ：是任何维的大多数情况下旋转矩阵。

两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作后面保持不变。以此得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。这里的是单位矩阵。

一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。

正交矩阵的行列式是 ±1；

假设行列式是 −1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 旋转矩阵是正交矩阵，假设它的列向量形成 的一个正交基，就是说在任何两个列向量当中的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。

任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的。

A 矩阵叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。

编辑本段的二维空间，在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ 定义。

作为约定，正角表示逆时针旋转。

把笛卡尔坐标的列向量有关原点逆时针旋转 θ 的矩阵是: 　　cosθ -sinθ。sinθ cosθ 。

编辑本段三维空间，在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特点值。

旋转矩阵指定有关对应的特点向量的旋转(欧拉旋转定理)。

假设旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特点值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。

以此得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来迅速的计算任何 3 维旋转的旋转角。 　　

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数完全就能够指定一个3 维旋转矩阵。 　　

生成旋转矩阵的一种简单方法是把它作为三个基本旋转的序列复合。

有关右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为有关一个轴的旋转，它们的生成元比较容易表达。

绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。

绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。

绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。 　　

在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角一般分别采取符号 γ, α, 和 β；但是，为了不要混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和 θz。 　　

任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx, θy, 和

旋度计算公式：d=UQ。旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元导致的旋转程度。这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向。

比如，二次函数y=x^2，用复数表示就是：z=x+ix^2【注意用向量来体会】你要把它的图像旋（转逆时针为正方向）45°，那只要乘以模为1辐角为45°的复数完全就能够了

即z

’=(x+ix^2)(cosπ/4+isinπ/4)=(x+ix^2)(1+i)/√2=(x-x^2)/√2+i(x+x^2)/√2

表示成参数方程，即

x=(t-t^2)/√2

y=(t+t^2)/√2

消去参数t，

x+y=√2t

y-x=√2t^2

就得到普通方程

(x+y)^2=√2(y-x)

设 ：是任何维的大多数情况下旋转矩阵。两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作后面保持不变。以此得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。这里的是单位矩阵。 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是 ±1；假设行列式是 −1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 旋转矩阵是正交矩阵，假设它的列向量形成 的一个正交基，就是说在任何两个列向量当中的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。 任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的。A 矩阵叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。 编辑本段的二维空间，在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量有关原点逆时针旋转 θ 的矩阵是: 　　cosθ -sinθ。sinθ cosθ 。编辑本段三维空间，在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特点值。旋转矩阵指定有关对应的特点向量的旋转(欧拉旋转定理)。假设旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特点值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。以此得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来迅速的计算任何 3 维旋转的旋转角。 　　3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数完全就能够指定一个3 维旋转矩阵。 　　生成旋转矩阵的一种简单方法是把它作为三个基本旋转的序列复合。有关右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为有关一个轴的旋转，它们的生成元比较容易表达。绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。 绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。 　　在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角一般分别采取符号 γ, α, 和 β；但是，为了不要混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和 θz。 　　任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx, θy, 和 θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积是在中的旋转矩阵在中全部旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵马上提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。 角-轴表示和四元数表示　　在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所紧跟的单位向量方向 来定义。 　　这个旋转可以简单的以生成元来表达:在运算于向量 r 上时，这等价于Rodrigues旋转公式：角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q: 这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。 欧拉角表示：在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。有一部分可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为: 进行乘法运算生成。因为这个旋转矩阵不可以表达为有关一个单一轴的旋转，它的生成元不可以像上面例子那样简单表达出来。对称保持 SVD 表示：对旋转轴 q 和旋转角 θ，旋转矩阵 　　这里的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 θ 度 Givens 旋转。【旋转矩阵】旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量时改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不涵盖反演，它不可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。全部旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。针对3D坐标系，任意两个坐标系却不可以等价。其实，存在两种完全不一样的3D坐标系：左手坐标系和右手坐标系。假设都是于左手坐标系或者右手坐标系，则可以通过旋转来重合，不然不

几何意义就是线性变换，矩阵乘向量就是把这个向量旋转，而且，向量的大小也会改变，一般情况没有人特别要注意关注矩阵与一个向量的乘法，而是特别要注意关注整个向量空间，乘了这个矩阵后面，会如何变化，这实际上就是向量空间的线性变换，特点是保持加法、保持数乘。

矩阵运算在科学计算中很重要 ，而矩阵的基本运算涵盖矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法大多数情况下有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。