有谁能告诉我泰勒公式是怎么推导的，二元函数泰勒公式推导例题

函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数,我们期望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使这个多项式与f(x)在x0处具有一样的函数值及一样的直到n阶的导数值,容易确定这个多项式就是 Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+ +[f(x0)/n!](x-x0)^n 这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.确定Pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项 Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0当中）,这需用n+1次柯西中值定理,教科书上都拥有具体的证明,可参阅同济高等数学第五版上册p138、p139页.

二元函数泰勒展开公式：f(x，y)=f(a，b)+df(a，b)/dx[x-a]。泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

函数（function）的定义一般分为传统定义和近代定义，函数的两个定义实质是一样的，只是叙述概念的出发点不一样，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设这当中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x当中的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。这当中核心是对应法则f，它是函数关系的实质特点

一元函数的泰勒公式是利用柯西中值定理证明得出的,而二元函数的泰勒公式则是利用一元函数的泰勒公式并构造函数得证的.

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假设函数f(x)及F(x)满足：

　　(1)在闭区间[a，b]上连续；

　　(2)在开区间(a，b)内可导；

　　(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，

　　既然如此那，在(a，b)内至少有一点ζ，使等式

　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

　　柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线当中图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。

费马大定理，又被称为“费马后的定理”，常见的表达为当整数n2时，有关xn + yn = zn 的方程没有正整数解。

公元17世纪，法国数学家皮耶·德·费马提出费马猜想，但没有给出证明。此后三百多年，费马猜想一直没有人可以证明。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给第一个证明该定理的人。因为定理表达易于理解，不少数学爱好者尝试去证明，但后都被否定。

1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。

费马大定理表达虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，不少数学家在证明途中发现了不少新的数学理论，拓展了新的数学方式，证明费马大定理的过程可以能够算是一部数学史。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时常常使用的近似方式之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

当整数n 2时,有关x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.的整数解都是平凡解,即当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)这个定理,本来又称费马猜想,由17世纪法国数学家费马提出.费马宣称他已找到一个绝妙证明.但经过三个半世纪的努力,这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明.证明利用了不少新的数学,涵盖代数几何中的椭圆曲线和模形式,还有伽罗华理论和Hecke代数等,令人怀疑费马是不是真的找到了正确证明.而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)因为成功证明此定理,取得了 邵逸夫奖的数学奖.

lnx泰勒公式展开为：ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3。。+(-1)^(n-1)x^n/n+。。泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

泰勒简介18世纪早期英国牛顿学派优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。

1709年后移居伦敦，取得法学学士学位。 1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。

1717年，他以泰勒定理解答了数值方程。后在1731年12月29日于伦敦逝世。 泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理总体可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。

然而在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重要价值。这一重要价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。 泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪后面，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，这当中以相关弦的横向振动之结果特别重要。他透过解答方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。

除开这点此书还涵盖了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

lnx = 1+1/2(x-e) - 1/8(x-e)² + .......+ (-1)(-2)...×(-n+1)/(n!×2^n) (x-e)^n + (-1)(-2)...×(-n)/((n+1)!×ζ^(n+1)) (x-e)^(n+1)

ln(x+1)的三阶泰勒公式是ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)在泰勒公式中n取几就是几阶的.三阶泰勒公式里的皮亚诺余项是o(x^3),因为假设再往后写,泰勒公式中后面的项是x^4,x^5..,当x趋于0时,它们的和是比x^3更高阶的无穷小量,因为这个原因写o(x^3).

泰勒展开是在定义域内的某一点展开,lnx在x=0处无定义,它不可以在x=0处展开 大多数情况下用ln(x+1)来套用麦克劳林公式

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限时可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限时可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限时可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限时可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限时可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限时可以把cosx用泰勒公式展开代替。