等价无穷小替换公式有哪些，等价无穷小代换常用公式

sinx-x, tanx-x, arctanx-x, arcsinx-x, 1+cosx-x^2/2 , e^x+1-x, a^x+1-xlna, ln(1+X)-x, (1+x)^a-1-ax。这当中x 均趋近于零，x可用方框代替，方框趋于零

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx； x~ln(1+x)~(e^x-1)； (1-cosx)~x*x/2； [(1+x)^n-1]~nx； loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；注：^ 是乘方，~是等价于，

等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另外一个方面来说，等价无穷小也可看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

扩展资料:

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1. 被代换的量，在取极限时极限值为0；

2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，未必能随意独自代换或分别代换。

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

（6）（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

（7）（e^x）-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

（11）loga(1+x)~x/lna

（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)等价无穷小注意：

可以拆成两个极限分别求结果，然后在加起来，故此，基本上等同于独立求两个的极限，你们两者爱怎么用等价无穷小怎么用，但假设唯有一个有极限，或两个都没有。

用等价无穷小量的替换时，一定要要整体替换。用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，

楼上两位都给出了答案，综合一下就是：

（1）大多数情况下在乘除法的情况下可以使用等价无穷小（变量一定要趋向于0，这是很重要关键点）；

（2）使用泰勒公式时，等价无穷小记着要往高阶的方向无穷小才可以替换（例如加减法时低阶的无穷小正好可以抵消，既然如此那，就再添加高阶的马上写等价无穷小）。

x趋于无穷不可以用等价无穷小代换；

理由请看下方具体内容：

1、因为，在x→∞时，总存在这样的x：让sinx=0。

故此总存在值为0的x*sinx，于是x*sinx不是无穷大。

2、因为，有界量乘无穷小量仍为无穷小量。

x=kπ，x→无穷，k→无穷， limsinx=limsinkπ=0

x=2kπ+1/2π，x→无穷，k→无穷， limsinx=limsin2kπ+1/2π=1

等价无穷小代换，只要x→∞时，函数内部是无穷小就可以。例如，x→∞时，sin(1/x)~1/x。

被代换的量，在取极限时极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。

扩展资料：

当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。非常要指出的是，千万不要把很小的数与无穷小量混为一谈。

无穷小量是以0为极限的函数，而不一样的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因为这个原因两个无穷小量当中又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

x减去sinx等价于无穷小

x-sinx的等价无穷小。在经典的微积分或数学分析中,无穷小量一般以函数、序列等形式产生。 无穷小量就是以数0为极限的变量,无限接近于0。确切地说,当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与0无限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0..

x减去sinx等价于

x→0 时

x - sinx

= x - [x - (1/3)x^3 + o(x^3)]

= (1/3)x^3 - o(x^3) ~ (1/3)x^3

在同一自变量的趋向途中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限时极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。

这道题用泰勒公式很好处理

因sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...

则x-sinx=x^3/3!-x^5/5!+...

lim(x→0)(x^3/3!)/(x^3/3!-x^5/5!+...)=1则x^3/3!是x^3/3!-x^5/5!+...的等价无

即x^3/6是x-sinx的等价无穷小

还可以这样来考虑：

令x-sinx的等价无穷小为f(x)

即lim(x→0)f(x)=0

则由等价无穷小的定义知lim(x→0)f(x)/(x-sinx)=1

明显极限lim(x→0)f(x)/(x-sinx)是0/0型由罗必塔法则有lim(x→0)f(x)/(x-sinx)

=lim(x→0)f(x)/(1-cosx)

=lim(x→0)f(x)/sinx

=lim(x→0)f(x)/cosx

=lim(x→0)f(x)/1=1

则有f(x)=1

于是f(x)=∫f(x)dx=∫1dx=x+C

f(x)=∫f(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2+C

f(x)=∫f(x)dx=∫(1/2)x^2dx=x^3/6+C

故此，x-sinx的等价无穷小为x^3/6

等价无穷小的替换公式请看下方具体内容：

当x趋近于0时:

e^x-1 ~ x；

ln(x+1) ~ x；

sinx ~ x；

arcsinx ~ x；

tanx ~ x；

arctanx ~ x；

1-cosx ~ (x^2)/2；

tanx-sinx ~ (x^3)/2；

(1+bx)^a-1 ~ abx；

值得注意的是等价无穷小的替换大多数情况下用在乘除中，大多数情况下不需要在加减运算的替换

等价无穷小代换，只要x→∞时，函数内部是无穷小就可以。例如，x→∞时，sin(1/x)~1/x。

被代换的量，在取极限时极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。