牛顿莱布尼茨公式的故事，莱布尼茨公式计算圆周率

牛顿和莱布尼茨间的故事：

1 、1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚取得学士学位、准备留校任教的

牛顿被迫离开学校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万

有引力定律和光学的研究都启动F这个时期。在研究这些问题途中，他发现了他称为“流数术”的

微积分。

2、他在1666年写下了一篇有关流数术的短文， 后面又写了几篇相关文章。但是，这些文章当时

都没有公开发表，只是在一部分英国科学家中流传。第一次发表相关微积分研究论文的是德国哲学家莱

布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是，也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发

现。

3、1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了相关积分的研究。在瑞士

人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方式很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书

出版。起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699 年，移居英国的一名瑞士人一个方面为了讨好英

国人，另外一个方面因为与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此

人并无威望，受到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。

4、1704年，在其光学著作的附录中，牛顿第一次完整地发表了其流数术。当年产生了一篇匿名评

论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。于是究竟是谁第一发现了微积分，就成

了一个需处理的问题了。1711 年，苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰.凯尔在致王家学会书

记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不一样的符号表示法改头换面。

5、同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求王家学会不允许凯尔的诽谤。王家学会组成一

个委员会调查此事，在第二年公布的调查报告中认定牛顿第一发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐

瞒他清楚牛顿的研究工作。这个时候牛顿是王家学会的会长，虽说公开的场合假装与这个事件无关，

但是，这篇调查报告实际上是牛顿自己起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。

6、 争论并没有因为这个偏向性非常明显的调查报告的出笼而平息。其实，这场争论一直延

续到了目前没有人，涵盖莱布尼茨自己，否认牛顿第一发现了微积分。问题是，莱布尼茨是不是独立

地发现了微积分？莱布尼茨是不是剽窃了牛顿的发现？

7、1673年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曾访问伦敦。虽然他没有见过牛顿，但是，与一部分

英国数学家见上一面讨论过数学问题。这当中有的数学家的研究与微积分相关，甚至有可能给莱布尼茨看

过牛顿的相关手稿。莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一部分手稿，但是，又说这些手稿对他没有价

值。

8、1676年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中解读了牛顿对无穷级数的研究。虽然这些

通信后来被牛顿的支持者用来反对莱布尼茨，但是，它们依然不会含有创建微积分所需的具体信息。莱

布尼茨在创建微积分的途中究竟受到了英国数学家多大的影响，恐怕没人能说得清。后人在莱布

尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿有关流数术的论文的段落，并故将他内容改用他发明的微积分符号表

示。这个发现似乎对莱布尼茨不利。

9、但是我们没办法确定的是，莱布尼茨是具体是什么时候抄录的？假设是在他创建微积分以前，从某位

英国数学家那里看到牛顿的手稿时抄录的，那肯定可以做为莱布尼茨剽窃的铁证。但是，他也许是

在牛顿于1704年发表该论文时才抄录的，这个时候他自己的相关论文早已发表多年了。

10、后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现,莱布尼茨和牛顿是从不一样的思路创建微积分的；牛顿是为

处理运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分

概念，后有导数概念。牛顿只是把微积分当作物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积

分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表达莱布尼茨像他一再声称的那样是自己独立地创建微

积分的。

11、就算莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重要奉献。莱布尼茨对微

积分表达得更了解，采取的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因为这个原因目前的教

科书大多数情况下把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则是数学中有关两个函数的积的导数的一个计算法则。不一样于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。

大多数情况下的，假设函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，既然如此那，这个时候有

莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而出现的一个公式。

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），一般也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分当中的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的主要内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简单方便的计算方式，大大简化了定积分的计算过程。

中文名

牛顿-莱布尼茨公式

外文名

Newton-Leibniz formula

分类

数学

别名

微积分基本定理

提出

牛顿 莱布尼茨

你自几看看吧我的很全的

微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列

0，1，4，9 16，…

的性质，比如它的第一阶差为

1，3，5，7，…，

第二阶差则恒等于

2，2，2，…

等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，假设原来的序列是从0启动的，既然如此那，第一阶差之和就是序列的后一项，若是平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分夯实了初步思想，可以当成是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．

1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的试题：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和

莱布尼茨圆满地处理了这一问题，他是这样计算的：

初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他启动研究求曲线的切线还有求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性出现了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献．

针对当时数学界密切特别要注意关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方式．这个方式的核心是特点三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特点三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特点三角形．这当中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特点三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q当中的曲线，而且，是T点的切线的一些”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值．

利用这个特点三角形，他很快就意识到两个问题：

(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，以此有dy/dx=Tu/Su．其实就是常说的说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．

(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．

有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己，说就是，从特点三角形出发，“毫不费力，我确立了大量的定理”

按照莱布尼茨留下的遗稿可以判断，他是在1673年建立起特点三角形思想的．他将特点三角形的斜边PQ用“dS”表示，这样特点三角形又称为微分三角形(differential triangle)这当中 ds2=dx2+dy2．

利用特点三角形，莱布尼茨早在1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式

这一公式是从几何图形中推导出来的，常常被他用来求面积．

1673—1674年，他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式

同时，他还给出了曲线长度公式

在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成，面由无穷多条线构成”思想的影响，觉得曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了之前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长)，用∫ydx表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式

1676年11月，他得出了公式

这当中n是整数或成绩(n≠-1)．

莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的．

因为研究巴罗的著作，还有引入特点三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)理所当然是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面积被微分时理所当然给出长度，因为这个原因他启动探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)当中的关系，认识到要从y回到dy，一定要做出y的微差或者取y的微分．经过这样的不充分的讨论，他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样，莱布尼茨就首次表达出了求和(积分)与微分当中的关系．

莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式)

(A为曲线f下的图形的面积．)

于1693年给出了这个定理的证明．之前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等不少人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已启动考虑微分和积分当中的关系，然而，唯有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的重点所在．唯有确立了这一基本关系，才可以在这里基础上构建系统的微积分学．并从对各自不同的函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方式普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则．

莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文，试题是“一种求非常大值与极小值和求切线的新方式，它也适用于无理量，还有这样的新方式的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis，itemque tangentibus，quae necfractas，necirrationales quantitates moratur，et singularepro illis Calculi genus)，在数学史上被公觉得是早发表的微积分文献．

早在1677年7月11日前后及11月左右，莱布尼茨明确定义了dy为函数微分，给出了dy的演算规则：

“假设a是给定的常数，则da=0，dax=adx；

加法和减法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx；

乘法 y=vx，dy=vdx+xdv

在1676—1677年的手稿中，他利用特点三角形分析了曲线切线的变化情况：针对曲线v=v(x)，当dv与dx之比为无穷大时，切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时，切线平行于x轴，当dv=dx≠0时，则切线与坐标轴成45°角，他指出，针对曲线v，当dv=0时，“在这个位置的v，明显地就是非常大值(或极小值)”，他具体讨论了当dv＜0，而变成dv=0后又dv＜0时取非常大值，反之则取极小值的情形．他还给出了拐点-曲线的凹凸情况出现变法的条件是d2v=0．

以后，莱布尼茨详细得出了各自不同的各样复杂函数的微商(导数)．1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年得出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等．

他引入了n阶微分的符号dn，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：

这当中

n！=1×2×3×…×(n-1)×n．

莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)．

品中产生了积分符号．同年，他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语，并给出了曲率ρ公式：

这当中R为曲率半径．

1692年和1694年，他给出了求一族曲线 f(x，y，α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方式：在

中消去α．其实，用微积分方式研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经启动了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．

无穷级数 在微积分的早期研究中，有部分函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而，大家发现，若用它们的级数来处理，则很有成效．因为这个原因，无穷级数从一开头就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有的时候，使用无穷级数是为了计算一部分特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．

在求面积的途中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式

1673年左右，他独立地得到了sinx，cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的详细展开式，并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他常常利用级数展开式研究超越函数．有的时候，还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．

无穷级数展开式，得到了请看下方具体内容的式子：

误的．直到1734—1735年，L．欧拉(Euler)才得到

在1713年10月25日写给约翰•伯努利(John Bernoulli)的信中，莱布

“莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了．在考虑级数 还相当混乱．

微分方程 微分方程在微积分创立之初就为大家所特别要注意关注．1693年，莱布尼茨称微分方程为特点三角形的边(dx，dy)的函数．在微分方程方面，他进行了一系列工作．这当中有部分工作是十分独特的．

1691年，他提出了常微分方程的分离变量法，处理了形如

型方程的解答问题．方式是，先写成

然后两边积分．

这一年，他还提出了解答一次齐次方

的方式：

因为这个原因经过这样的变换，原来的一次齐次方程就变成了

1694年，他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方式，他的方式使用了因变量替换．同时，他还给出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年，他和约翰•伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题，并得出了一部分特殊问题的解．

1696年，他证明了，利用变量替换z=y1-n，可以将伯努利方程

变换x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以将微分方程

a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0

进行简化．

通过解答微分方程，莱布尼茨处理了不少详细问题．比如，1686年，他处理了这样的问题：求一条曲线，让一个摆沿着它作一次完全振动，都用相等时间，而不管摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出，

证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了不少超越函数的基本性质．除开这点他还考虑过可能性方程．这一时期，他还得出了十分重要的曳物线方程：

1691年，他给出了自达•芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary，这个名称是莱布尼茨给出的)方程为

1696年，约翰•伯努利提出了著名的速降线问题：

求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，让一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用时间短；这当中摩擦和空气阻力都忽视．

这是约翰•伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年，莱布尼茨和I．牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L’Hospital)、约翰•伯努利分别处理了速降线问题，指出这是由方程

表示的上凹的旋轮线，并由此启动了变分法的研究．

数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的奉献突出地表目前他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的重点之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号，经常对各自不同的符号进行长时间的比较研究，然后再选择他觉得好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有

除开这点，还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．不少符号的普遍使用与他的提倡和影响密切有关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语．

在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且，还讨论了负数、复数的性质，觉得复数的产生是无害的，断言复数的对数是不存在的，针对这个问题曾在当时的数学界掀起了一场有关负数、虚数的对数之争论．在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数

用大多数情况下的复数表示．他把虚数当成是存在(being)与非存在(not-being)的中介．

在1678年之前，莱布尼茨就启动了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程：

这个方向，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样，他创设了采取两个数码的系数记号，基本上等同于目前的aik，为矩阵和行列式大多数情况下理论的发展提供了方便的工具．。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则是数学中有关两个函数的积的导数的一个计算法则。

不一样于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。大多数情况下的，假设函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，既然如此那，这个时候有 莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而出现的一个公式。拓展资料： 微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之故此，说牛顿和莱布尼茨的创立者，其实是因为他们把定积分与不定积分联系起来，以此建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，常常也被称为“微积分学基本定理”。

牛顿莱布尼茨公式证明是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。给定积分提供了一个有效而简单方便的计算方式，大大简化了定积分的计算过程。

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），一般也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分当中的联系。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

1牛顿布莱尼茨公式

牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且

从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)

其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方式.

2牛顿布莱尼茨公式证明过程

证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,

则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)

当Δx很小时,

F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx

F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx

……

F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx

故此，,

F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx

当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)

因为牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方式。

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

这个公式就叫做牛顿—莱布尼茨公式。

牛顿莱布尼茨公式证明是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。给定积分提供了一个有效而简单方便的计算方式，大大简化了定积分的计算过程。

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），一般也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分当中的联系。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。