微积分求体积，参数方程求体积的公式?

比如考虑y=f(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴旋转一周的体积公式为V=∫[a,b] πf²(x)dx故此，由y=f(x),y=g(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴一周的体积公式为V=∫[a,b] [πf²(x)-πg²(x)d]x,假设f(x)≥g(x)而在计算这样的体积时大多数情况下不可以用∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算拿个简单的例子来讲f(x)=2,g(x)=1跟x=1,x=2为成的区域绕x轴旋转一周的体积计算中,所形成的立体是个去心圆柱.∫[1,2] πf²(x)dx表示底面半径为2,高为1的圆柱体体积,∫[1,2] πg²(x)dx表示底面半径为1,高为1的圆柱体体积,

y(x)是不等于ψ(t)的！y(x)应该等于ψ[t(x)]，这里t=t(x)是x=φ(t)的反函数。比如求旋转体体积时的被积表达式πy^2*dx=π{ψ[t(x)]}^2*dx=π{ψ[t(φ(t))]}^2*dφ(t)=π[ψ(t)]^2*φ(t)*dtt(φ(t))=t-

旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，所以其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x

这个问题就得到表面积积分元，所以，表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx

体积，几何学专业术语。当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。体积的国际单位制是立方米。一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的。

x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕x轴旋转： y^2=b^2(1-x^2/a^2) V=∫-a,a π·y^2 dx =π·b^2 ∫-a,a (1-x^2/a^2) dx =π·4/3·a·b^2 - 绕y轴旋转： x^2=a^2(1-y^2/b^2) V=∫-b,b π·x^2 dy =πa^2 ∫-b,b (1-y^2/b^2)dy， =π·4/3·a^2·

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x

这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx。

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x，则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，该圆环柱的底面圆的周长为2πx，故此，底面面积约为2πx*△x，该圆环柱的高为f(x)，故此，当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x

这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx。

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x，则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，该圆环柱的底面圆的周长为2πx，故此，底面面积约为2πx*△x，该圆环柱的高为f(x)，故此，当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端,旋转体体积：V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx,x积分区间是一个拱圈[0,2πa]；

以参数方程表示,V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π]；

V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt

=8π²a³-πa³∫sin²t dt=8π²a³-πa³∫(1-cos2t)dt/2=8π²a³-πa³/2；

解答： 在空间直角坐标系中。 球体的方程：x^2+y^2+z^2=r^2 沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2 体积V=π∫（√r^2-x^2）^2dx(积分上限为r,下限为-r) =(4/3)r^3

一.套筒法

套筒法，从名字中我们就可以看得出来，就是将图形绕Y轴旋转所得的形状像套筒一样，故此，起名叫做套筒法，既然如此那，应该怎么使用，公式又是什么呢?先不要着急，我们来看看一个案例，然后思考公式，这样更能容易理解和记住。



例如上面函数f(x)，取微元[x,x+dx]∈[a,b]绕Y轴旋转，把它当成是宽度为dx,高度为f(x)的小薄片绕Y轴旋转就形成了像戒指一样的环形圈，这个环形圈的宽度是dx,高度为f(x)，而周长就是2Πx，把它展开就形成了下面的长方体



上面只是函数旋转体积的一个微元，故此，一定要在函数的区间进行积分后才是它后的体积。



二.圆盘法

圆盘法，也差不多只不过不是绕Y轴旋转，而是绕X轴旋转，更像是车轮。既然如此那，我们不如就用轮胎举例，看下面的函数，取[x,x+dx]∈[a,b]绕X轴旋转，把微元部分想象成一个轮胎，轮胎的宽度为dx,半径为f(x)，故此，这个轮胎的微元体积就是下面公式的积分上下限后面的部分。



三.二重积分法

实际上二重积分法与上面的相比有不少优点，上面两种方式只可以在特定的条件下使用，而下面这个二重积分法可以囊括上面的两个,下面的一个例子进行举例说明



例如上面的函数y=x,y=2和y=x所围成的区域D，取微元dxdy，坐标为(x，y)，绕y=1进行旋转，想象是一个环形水管，环形水管的半径为(y-1),这个时候r(x，y)=y-1，马上下面的图例



每一个微元都是吸管的体积，只要对整个区域D进行积分就是旋转某个轴的旋转体体积，而且，二重积分就算是y=x这样不是水平或者垂直的旋转体体积都可以计算，下面是其公式。



四.练习

下面我们对一个题使用三种三种方式进行运算，来体会三种方式的独到之处



第一按照题意将图像绘制出来，然后再使用这当中的某一个方式进行解答，这当中阴影面积是区域D



第一我们使用二重积分的方式进行解答，使用二重积分法重要就是找区域D的微元到旋转轴的距离，构成被积函数，确立二重积分的上下限积分就可以，下面是二重积分法详细步骤



二重积分法

下面使用圆筒法，圆筒法在使用的过程要注意，要确定微元的长度、宽度和高度，假设是绕x轴旋转，既然如此那，函数就变成x=...的形式，假设是绕y轴旋转，就变成y=...的形式



圆筒法

后一种方式就是圆盘法，圆筒法的模型就是微小的长方体模式，分长、宽、周长的形式，而圆盘法是面积的形式公式，重要找到半径是谁



在使用时要注意，二重积分法和圆筒法基本上算是直接清楚区域到旋转轴的距离完全就能够，因为圆筒法像戒指一样是空心的，而圆盘法是实心的，而实心的部分未必都是区域D旋转的体积，故此，谁在使用圆盘法要非常注意。

二重积分求面积公式：S=x+2x^2-x。二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似是某种特定形式的和的极限。实质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。

当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小叫做该物体的面积，面积可以是平面的也可是曲面的。平方米，平方分米，平方厘米是公认的面积单位，用字母可以表示为（m²，dm²，cm²）。

交点为

(-1,1)(2,4)

面积=∫∫D dxdy

=∫(-1,2)dx∫(x平方，2+x)dy

=∫(-1,2)(2+x-x平方)dx

=(2x+x平方/2-x立方/3)|(-1,2)

=(4+2-8/3)-(-2+1+1/3)

=4

三重积分λ：定义体积元素设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δvi）.假设当各个子域的直径中的大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即Ω∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），这当中dv叫做体积元素。