向量数量积的运算公式，向量的数量积公式是怎么推导的

向量的数量积也叫向量的内积，也叫点乘积，向量a与向量b的数量积等于向a的模乘以向量b的模乘以向量a与向量b之间夹角的余弦。

向量的数量积公式推导可以抽象出内积（数量积）的代数刻画，由此可以在纯粹结构的层面推倒出其坐标公式。这样做的好处是可不必依赖于内积的几何定义。

两个向量的数量积等于它们模和夹角余弦的乘积，这是两个向量的数量积的定义，定义是研究问题的出发点，是初引进的的新概念，不是推导出来的。就像物理中的功的定义：力f 做的功等于力f与物体在力f的方向上走过的位移的乘积 一样，都是定义，都不是推导出来的。可以说数量积的定义是由于功的定义的启发而引进的。

a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉是定义，推出交换律，分配率，与数的乘法的结合

律，以及垂直时为零。

∴（x1,y1）·（x2,y2）＝[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

＝x1x2（i·i）+y1y2（j·j）+[x1y2+x2y1]（i·j）＝x1x2+y1y2.

[ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²＝1, j²＝1, i·j＝0 ]

运算公式

数量积

点积在数学中，又称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=（a^T）*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉是定义，推出交换律，分配率，与数的乘法的结合 律，以及垂直时为零。

∴（x1,y1）·（x2,y2）＝[x1i+y1j]·[x2i+y2j] ＝x1x2（i·i）+y1y2（j·j）+[x1y2+x2y1]（i·j）＝x1x2+y1y2. [ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²＝1, j²＝1, i·j＝0 ]

数量积：①a·b＝ | a | | b | cos〈a，b〉

（两个向量的模长乘以它们夹角的余弦值）

②坐标运算：设a（x1，y1），b（x2，y2）

则a·b＝x1x2+y1y2

（1）定义：a*b=|a|*|b|*cosθ ,其中 θ 是向量 a、b 的夹角.

（2）公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,

那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn .

向量数量积公式：

（1）定义：a*b=|a|*|b|*cosθ ,其中 θ 是向量 a、b 的夹角.

（2）公式：如果向量 a、b 的坐标分别是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn .

这是不可能列完的。

公式的组合运算也是公式，有的用得多，有的用的少，有的不知道有啥用，有的甚至自定义的运算，自己列自己的公式。

基本的运算有，加，数乘，内积，外积，模长，以及它们可能的组合。另外大约就是专门的应用下定义的运算，还有就是突然灵感写出来的运算。

各种各样的运算及其组合运算，不记其数。怎么用这些运算，即是怎么组合这些运算。

加法减法和数乘。

1、加法：已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、减法：AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

3、数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ0时，λa的方向和a的方向相同，当λ0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

向量的数量积求法

已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x,y+y).

a+0=0+a=a.

2、向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).

3向量的的数量积

1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.

2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x+y•y.

3、向量的数量积的运算律

a•b=b•a(交换律);

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);

(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

4、向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

5、向量的数量积与实数运算的主要不同点

（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.

（2）向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.

（3）|a•b|≠|a|•|b|

（4）由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

4数乘向量

1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.

当λ0时,λa与a同方向;

当λ0时,λa与a反方向;

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣

a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合

律,以及垂直时为零.

∴（x1,y1）·（x2,y2）＝[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

＝x1x2（i·i）+y1y2（j·j）+[x1y2+x2y1]（i·j）＝x1x2+y1y2.

[ i,j是x轴.y轴上的单位向量.i²＝1,j²＝1,i·j＝0 ]

向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sina,b，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

向量的叉乘运算法则

1点乘和叉乘的区别

点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cosa,b

在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sina,b

向量c的方向与a，b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

2物理学中的应用

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。