定态薛定谔方程公式区别，一维薛定谔方程的通解

薛定谔方程其实是一个大的统称，再细分可以分成一维粒子的薛定谔，三维粒子的薛定谔等等，

或者分成含时薛定谔，定态薛定谔。所以含时薛定谔是薛定谔中的一大类。

在量子力学中，单粒子服从的运动方程是薛定谔方程。薛定谔方程在量子力学中的地位相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位。

一维的含时薛定谔方程形式为[公式]，其中[公式]为势函数，相当于牛顿第二定律的力的地位。因此，理论上只要给定一个确定的势函数，以及一个确定的初始条件，就能得到粒子后续的运动情况。

特别地，当势函数不显含时间的情况下，有[公式]

此时可用分离变量法求解，即令[公式]，则有

[公式]

代入上式可得

[公式]

观察上式，左边为[公式]的函数，右边为[公式]的函数。那么等式成立的条件为，两边都等于一个常数，设此常数为[公式]，则可以得到两个常微分方程

[公式]

[公式]

其中式（1）称为定态薛定谔方程，之所以称之为定态，原因如下：

解方程（2）可得[公式]，设此时相应的方程（1）的解为[公式]，那么有[公式],则由波函数的统计诠释，概率密度[公式]与时间[公式]无关！因此称式（1）为定态薛定谔方程，其中定态的意思即与概率密度与时间无关，式（1）的解称为定态解。

一般地，给定势函数[公式]后，满足条件的[公式]不止一个，可记为[公式].求得的定态解为[公式],相应的式（2）的解为[公式],则总的定态解为[公式].

含时薛定谔方程的解可由叠加原理得到，即为定态解的线性组合

[公式]

在给定了初始条件[公式]后，可以求出各系数[公式],进而求得含时解。

一般地，在势函数不显含时间[公式]的情形下，求解含时的薛定谔方程可以先通过求解定态薛定谔方程，再通过线性组合得到含时解。

拉普拉斯算子运算公式是：f=\\frac{\\partial^2f}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2f}{\\partialy^2}。

拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。

中文名

杨-拉普拉斯公式

一般式

Ps=r(1/R1+1/R2)

特殊式

Ps=2y/R

提出者

杨-拉普拉斯

量子论建立之初，也就是普朗克提出能量子概念的时候（1900），完全没有描述量子的数学公式。但是量子化假定解决了黑体辐射的紫外灾难问题。玻尔的原子模型仍然是唯象地假定了能级分立（1913）。德布罗意提出物质波理论之后（1923），才有了海森堡、波恩等的矩阵力学和薛定谔的波动力学（1925）。

薛定谔方程的来源，按照费曼的说法，“是薛定谔瞎想出来的”（It is not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.）

有一个流传广泛，但是找不到来源的说法是，假定波函数为平面波，分别对时间和空间部分微分得到能量和动量，然后把能量变换为动能加势能，从而得到薛定谔方程。读者可以自行查找推导。

德布罗意方程组。薛定谔方程。质能方程。牛顿第二定律。欧拉公式。

39岁！

说薛定谔之前必须要提到另外两个人，一个是德布罗意，一个是他的实验室老板德拜。

德布罗意，1924年获巴黎大学博士学位，博士论文就一页，给了两个公式，说所有物质都是波。当时这个结论没有被学术界普遍接受，两年后德拜把这篇论文交到薛定谔的手上，让他研究一下，调侃地说：“物质既然是波，那么应该要有一个波动方程”。之后，薛定谔带着这篇论文和他维也纳的一个情人去了瑞士阿尔卑斯山度了两个半星期的假，据说从情人身上得到的灵感写出了著名的薛定谔方程，一举从一个大实验室不知名的讲师摇身一变成为量子力学的奠基人之一。

总之，1926年薛定谔提出方程时39岁！

应该是薛定谔的猫(Schr?dinger'scat),是关于量子理论的一个理想实验。

尽管量子论的诞生已经过了一个世纪，其辉煌鼎盛与繁荣也过了半个世纪。但是量子理论曾经引起的困惑至今仍困惑着人们。正如玻尔的名言：“谁要是第一次听到量子理论时没有感到困惑，那他一定没听懂。”薛定谔的猫是诸多量子困惑中有代表性的一个。这个猫十分可怜，她（假设这是一只雌性的猫，以引起更多怜悯）被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变，则放出阿尔法粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的氰化物气体，雌猫必死无疑。这个残忍的装置由薛定谔所设计，所以雌猫便叫做薛定谔猫。原子核的衰变是随机事件，物理学家所能精确知道的只是半衰期——衰变一半所需要的时间。如果一种放射性元素的半衰期是一天，则过一天，该元素就少了一半，再过一天，就少了剩下的一半。但是，物理学家却无法知道，它在什么时候衰变，上午，还是下午。当然，物理学家知道它在上午或下午衰变的几率——也就是雌猫在上午或者下午死亡的几率。如果我们不揭开密室的盖子，根据我们在日常生活中的经验，可以认定，雌猫或者死，或者活。这是她的两种本征态。但是，如果我们用薛定谔方程来描述薛定谔猫，则只能说，她处于一种活与不活的叠加态。我们只有在揭开盖子的一瞬间，才能确切地知道雌猫是死是活。此时，猫的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。量子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，我们永远也不知道雌猫是死是活，她将永远到处于半死不活的叠加态。这与我们的日常经验严重相违，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活？

薛定谔挖苦说：按照量子力学的解释，箱中之猫处于“死－活叠加态”——既死了又活着！要等到打开箱子看猫一眼才决定其生死。（请注意！不是发现而是决定，仅仅看一眼就足以致命！）正像哈姆雷特王子所说：“是死，还是活，这可真是一个问题。”只有当你打开盒子的时候，迭加态突然结束（在数学术语就是“坍缩（collapse）”），哈姆雷特王子的犹豫才终于结束，我们知道了猫的确定态：死，或者活。哥本哈根的几率诠释的优点是：只出现一个结果，这与我们观测到的结果相符合。但是有一个大的问题：它要求波函数突然坍缩。但物理学中没有一个公式能够描述这种坍缩。尽管如此，长期以来物理学家们出于实用主义的考虑，还是接受了哥本哈根的诠释。付出的代价是：违反了薛定谔方程。这就难怪薛定谔一直耿耿于怀了。

哥本哈根诠释在很长的一段时间成了“正统的”、“标准的”诠释。但那只不死不活的猫却总是像恶梦一样让物理学家们不得安宁。格利宾在《寻找薛定谔的猫》中想告诉我们的是，哥本哈根诠释在哪儿失败，以及用什么诠释可以替代它。

1957年，埃弗雷特提出的“多世界诠释”似乎为人们带来了福音，虽然由于它太离奇开始没有人认真对待。格利宾认为，多世界诠释有许多优点，由此它可以代替哥本哈根诠释。我们下面简单介绍一下埃弗雷特的多世界诠释。

格利宾在书中写道：“埃弗雷特……指出两只猫都是真实的。有一只活猫，有一只死猫，但它们位于不同的世界中。问题并不在于盒子中的放射性原子是否衰变，而在于它既衰变又不衰变。当我们向盒子里看时，整个世界分裂成它自己的两个版本。这两个版本在其余的各个方面都是全同的。唯一的区别在于其中一个版本中，原子衰变了，猫死了；而在另一个版本中，原子没有衰变，猫还活着。”

也就是说，上面说的“原子衰变了，猫死了；原子没有衰变，猫还活着”这两个世界将完全相互独立地演变下去，就像两个平行的世界一样。格利宾显然十分赞赏这一诠释，所以他接着说：“这听起来就像科幻小说，然而……它是基于无懈可击的数学方程，基于量子力学朴实的、自洽的、符合逻辑的结果。”“在量子的多世界中，我们通过参与而选择出自己的道路。在我们生活的这个世界上，没有隐变量，上帝不会掷骰子，一切都是真实的。”按格利宾所说，爱因斯坦如果还活着，他也许会同意并大大地赞扬这一个“没有隐变量，上帝不会掷骰子”的理论。

这个诠释的优点是：薛定谔方程始终成立，波函数从不坍缩，由此它简化了基本理论。它的问题是：设想过于离奇，付出的代价是这些平行的世界全都是同样真实的。这就难怪有人说：“在科学史上，多世界诠释无疑是目前所提出的大胆、野心勃勃的理论。”

圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle）

No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform）

No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations）

No.7 1+1=2 No.6 薛定谔方程（The Schrödinger Equation）

No.5 质能方程（Mass–energy Equivalence）

No.4 勾股定理/毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）