拓扑法的原理，拓扑法有哪些特征

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，其实就是常说的和研究地形、地貌相类似的相关学科。

我们国内早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是几何学的一个分支，但是，这样的几何学又和一般的平面几何、立体几何不一样。

一般的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面当中的位置关系还有它们的度量性质。

拓扑学针对研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在一般的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，假设完全重合，既然如此那，这两个图形叫做全等形。但是在拓扑学里所研究的图形，在运动中不管它的大小或者形状都出现变化。

在拓扑学里没有不可以弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。

比如，前面讲的欧拉在处理哥尼斯堡七桥问题时，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。

这些就是拓扑学思考问题的出发点。 拓扑性质有那些呢？第一我们讲解拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是，讨论拓扑等价的概念。

例如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不一样，在拓扑变换下，它们都是等价图形。

左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的的视角看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一部分点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成不少块。

在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，那就是拓扑等价。

一般地说，针对任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。

例如像左图那样，把环面切开，它不至于分成不少块，只是变成一个弯曲的圆桶形，针对这样的情况，我们就说球面不可以拓扑的变成环面。

故此，球面和环面在拓扑学中是不一样的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。

在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们一般讲的平面、曲面一般有两个面，就像一张纸有两个面一样。

但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。

这样的曲面就不可以用不一样的颜色来涂满两个侧面。 拓扑变换的不变性、不变量还有不少，这里不在讲解。

拓扑学建立后，因为其它数学学科的发展需，它也得到了快速的发展。

非常是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了有关任意点集的对应的概念。

拓扑学中一部分需精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为非常多自然情况具有连续性，故此，拓扑学具有广泛联系各自不同的实质上事物的概率。

通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，以此掌握并熟悉空间当中的函数关系。

本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更深入，提出了不少全新的概念。例如，完全一样性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。

有一门数学分支叫做微分几何是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因为这个原因，这两门学科应该存在某种实质的联系。

1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并逐步递次推动了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方式来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方式来研究的，叫做代数拓扑。目前，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他不少数学分支中都拥有广泛的应用

1.星型网路拓扑结构的特点及优缺点　　优点：1)控制简单；2)故障诊断和隔离容易；3)方便服务；　　缺点：1)电缆长度和安装工作量可观；2)中央节点负担较重，形成无法提升的尴尬境地；3)各站点的分布处理能力很低。

2.总线型互联网拓扑结构的特点及优缺点　　优点：1)总线结构所需电缆数量少；2)结构简单又是无源工作，有非常高的可靠性；3)易于扩充，增减用户方便。　　缺点：1)传输距离有限，通信范围受到限制；2)故障诊断和隔离困难；3)分布式协议不保证信息及时传送，不具实时功能。站点一定要是智能的，要有媒体访问控制功能，增多站点软件和硬件的开销。

3.环型互联网拓扑结构的特点及优缺点　　优点：1)电缆长度短；2)增减工作站时只要能简单连接；3)可用光纤。　　缺点：1)节点故障会导致全网的故障；2)故障难检测；3)媒体访问协议都用令牌传递方法，在负载很轻时，信道利用率很低。

4.树型互联网拓扑结构的定义及优缺点　　从总线型拓扑演变而来，像一棵倒置的树，顶端是树根，树根以下带分支，每个分支还需要携带子分支。树根接收各站点发送的数据，然后再广播发送到全网。　　优点：1)易于扩展；2)故障隔离较容易。　　缺点：1)节点对根依赖性太大，若根出现故障，则全网不可以正常工作。

5.混合型互联网拓扑结构的定义及优缺点　　将两种单一拓扑结构混合起来，取两者的优点构成的拓扑。　　优点：1)故障诊断和隔离方便；2)易于扩展；3)安装方便；　　缺点：1)需用带智能的集中器；2)集中器到各站点的电缆长度会增多。

6.网型互联网拓扑结构的特点及优缺点　　优点：1)应用广泛；2)不受无法提升的尴尬境地问题和失效问题的影响。　　缺点：1)结构较复杂，互联网协议也复杂，建设成本高。

拓扑图是一种量化图是由专题地图演变而成的，这样的图形具有地图与统计图当中的过渡型特点。拓扑图是从拓扑学引用的名称。拓扑学是几何学中一个分支，它是研究几何图形在连续改变形状时还能保留不变的一部分特点，它只考虑物体当中的位置关系而不考虑它们的距离和大小。拓扑图也具有上面说的的特点。因为这个原因，有人称之为“相对位置图”。拓扑变换在各自不同的类型的空间研究中有着广泛的应用。在量化地图中能用到拓扑结构来定义面实体的结构关系，并用于传递量化信息，这样的方式称之为拓扑量化图示法。

电气原理图是用来表达设备电气的工作原理及各电器元件的作用，相互当中的关系的一种表示方法。 运用电气原理图的方式和技巧，针对分析电气线路，应该排除机床电路故障是十分有益的。电气原理图一般由主电路、控制电路、保护、配电电路等几部分组成。

不管环境多么复杂，都可以找到无障碍路径；缺点是建立拓扑互联网的过程比较复杂，计算量很大。

当障碍物数量增多或障碍物位置出现变化时，更改原有的拓扑互联网是一个很困难的问题，一般用于根据静态矢量地图的导航路径规划。

1、时间复杂度（渐近时间复杂度的严格定义，NP问题，时间复杂度的分析方式，主定理）

2、排序算法（平方排序算法的应用，Shell排序，迅速排序，归并排序，时间复杂度下界，三种线性时间排序，外部排序，拓扑排序）

3、数论（整除，集合论，关系，素数，进位制，辗转相除，扩展的辗转相除，同余运算，解线性同余方程，中国剩下定理）

4、指针（链表，搜索判重，邻接表，开散列，二叉树的表示，多叉树的表示）

5、按位运算（and，or，xor，shl，shr，一部分应用）

6、图论（图论模型的建立，平面图，欧拉公式与五色定理，求强连通分量，求割点和桥，欧拉回路，AOV问题，AOE问题，小生成树的三种算法，短路的三种算 法，标号法，差分管束系统，验证二分图，Konig定理，匈牙利算法，KM算法，稳定婚姻系统，大流算法，小割大流定理，小费用大流算法）

7、计算几何（平面解几及其应用，向量，点积及其应用，叉积及其应用，半平面相交，求点集的凸包，近点对问题，凸多边形的交，离散化与扫描）

8、数据结构（广度优先搜索，验证括号匹配，表达式计算，递归的编译，Hash表，分段Hash，并查集，Tarjan算法，二叉堆，左偏树，斜堆，二项堆，二叉查找树，AVL，Treap，Splay，静态二叉查找树，2-d树，线段树，二维线段树，矩形树，Trie树，块状链表）

9、组合数学（排列与组合，鸽笼原理，容斥原理，递推，Fibonacci数列，Catalan数列，Stirling数，差分序列，生成函数，置换，Polya原理）

10、可能性论（简单可能性，条件可能性，Bayes定理，希望值）

11、矩阵（矩阵的概念和运算，二分解答线性递推方程，多米诺骨牌棋盘覆盖方案数，高斯消元）

12、字符串处理（KMP，后缀树，有限状态自动机，Huffman编码，简单密码学）

13、变动规划（枯燥乏味队列，凸完全枯燥乏味性，树型动规，多叉转二叉，状态压缩类动规，四边形不等式）

14、博奕论（Nim取子游戏，博弈树，Shannon开关游戏）

15、搜索（A*，ID，IDA*，随机调整，遗传算法）

16、微积分初步（极限思想，导数，积分，定积分，立体剖析解读几何）

《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有的时候，也被称为一般拓扑学（General Topology）是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间还有定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源自于以下哪些领域：对实数轴上点集的详细研究，流形的概念，度量空间的概念，还有早期的泛函分析。它的表达形式大约在1940年左右就已经成文化了。通过这样的可以为全部数学分支适用的表达形式，点集拓扑学差不多抓住了全部的对连续性的直观认识。

代数拓扑(Algebraic topology)是为了让用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。它的前身是组合拓扑，组合拓扑的奠基人是H.庞加莱，1895年他建立了纯粹同调群就可以三角剖分的空间（多面体）的同调群，引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量，纯粹同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想，即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形，假设具有n维球S的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S。庞加莱猜想暂时还没有被证明。推广了的庞加莱猜想，针对n≥5的情形，为S.斯梅尔于1961年证明，对n＝4的情形，为M.H.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类，但亚历山大在1919年指出存在不一样胚的三维流形，它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论，得到了霍普夫不变量，证明了莱夫谢茨不动点定理，亚历山大对偶定理。20世纪初引进了一般空间的同调群。1932年E.切赫上同调群出现。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各自不同的同调群统一起来，建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列，在同伦群的计算方面获取很多成就。除开这点，纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。