向量方程式，有关向量的基本公式有哪些

有关向量的公式：AB+BC=AC。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。大多数情况下来说，在物理学中称作矢量，比如速度、加速度、力等等就是这样的量。舍弃实质上含义，就抽象为数学中的概念──向量。在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形

1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x,y+y).

a+0=0+a=a.

2、向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2向量的减法

假设a、b是互为相反的向量,既然如此那，a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).

3向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.

2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x+y•y.

3、向量的数量积的运算律

a•b=b•a(交换律)；

(λa)•b=λ(a•b)(有关数乘法的结合律)；

(a+b)•c=a•c+b•c(分配律)；

4、向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

5、向量的数量积与实数运算的主要不一样点

（1）向量的数量积没有满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；比如：(a•b)^2≠a^2•b^2.

（2）向量的数量积没有满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.

（3）|a•b|≠|a|•|b|

（4）由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

4数乘向量

1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.

当λ0时,λa与a同方向；

当λ0时,λa与a反方向；

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,针对任意实数λ,都拥有λa=0.

注：按定义知,假设λa=0,既然如此那，λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣

向量就是既有大小又有方向的量。

向量的计算公式有a+b=（x1+x2，y1+y2）。

ab+bc=ac、a

+b=b+a、

(a +b)

+c=a+

(b +c)、a+0=0+a=a和ab-ac=cb。向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。不少物理量都是矢量，例如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。

1)向量平行或共线

定理:向量 a 与非零向量 b 平行或共线的充要条件是有且唯有一个实数入,让 a =入 b 。

设 a =(x1,y1)； b =(x2,y2)(b0)

若x1/x2=y1/y2=入或×1y2-x2y1=0),则 a // b 。

若二向量的横坐标之比等于纵坐标之比,则向量 a 与非零向量 b 平行或共线。

(2)二向量垂直

设 a =(x1,y1)； b =(x2,y2)。

若 a b =x1x2+y1y2=0,则 alb 。

若二向量的数量积为零或二向量横坐标乘积与纵坐标乘积之和为零,则则向量 a 量 b 垂直。

(3)二向量夹角,记作 cos =( a b )/ lalbl。

1、叉乘。向量A×向量B=（x1y2i，x2y2j）。向量向量方向满足右手法则。|向量A×向量B|=|向量A||向量B|sin。

2、点乘。设向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)。向量A·向量B=|向量A||向量B|cosu=x1x2+y1y2（数值u为向量A、向量B当中夹角）。

1、向量加法：a+b等于使b的始点与a的终点重合时，以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量。

2、向量减法:a-b等于使b的始点与a的始点重合时，以b的终点为始点，以a的终点为终点的向量。

3、 数量乘向量:k*a，k0时，等于a的长度扩大k倍；k=0时，等于0向量；k0时，等于a的长度扩大|k|倍然后反向。

4、向量的内积（数量积、点积）: a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的长度乘上b的长度再乘上a与b当中夹角的余弦。

它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积，或者是b的长度与a在b上投影长的乘积，它是一个标量，而

且可正可负。因为这个原因相互垂直的向量的内积为0。

向量几何在游戏编程中的使用1_社会时事_02

5、向量的矢积（叉积）: a x b = |a|*|b|*sinA*v = c, |a|是a的长度，|b|是b的长度，A是a和b当中的不大于180的夹角,v是与a,b所决定的平面垂直的幺矢，即axb与a、b都垂直。在右手坐标系下，a,b,c构成右手系,即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的不大于180度的角卷曲，这个时候拇指所指方向就是c的方向。因为这个原因axb!=bxa。假设是左手系，既然如此那，上图中a x b = -c ，即a,b和-c构成左手系。a x b的行列式计算公式如上图右边所示。两个向量的矢积是一个向量。

6、正交向量的内积：相互垂直的两个向量是正交的，正交向量的内积为零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0。

有加法、减法、数乘、数量积、向量积等法则。向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。

向量的运算法则

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），表达时在字母顶上加一小箭头“→”。假设给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也可以把向量以数对形式表示，比如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。不少物理量都是矢量，例如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即唯有大小而没有方向的量。一部分与向量相关的定义亦与物理概念有密切的联系，比如向量势对应于物理中的势能。

向量的加法

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

向量的加法OB+OA=OC.

a+b=(x+x,y+y).

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

假设a、b是互为相反的向量,既然如此那，a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

向量的减法

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被

向量的减法减”

a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y).

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

当λ＞0时,λa与a同方向；

向量的数乘

当λ＜0时,λa与a反方向；

向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,针对任意实数λ,都拥有λa=0.

注：按定义知,假设λa=0,既然如此那，λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量针对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数针对向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：（1） 假设实数λ≠0且λa=λb,既然如此那，a=b.（2） 假设a≠0且λa=μa,既然如此那，λ=μ.

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x+y·y.

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）；

(λa)·b=λ(a·b)(有关数乘法的结合律)；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明请看下方具体内容：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,故此，|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不一样点

1、向量的数量积没有满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；比如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的数量积没有满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并非乘号,只是一种表示方式,与“·”不一样,也可以记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

a×（b+c）=a×b+a×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

6、三向量的混合积

向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,

向量的混合积所得的数叫做三向

量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下方罗列出来的性质：

1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4、(a×b)·c=a·(b×c)

秩当中没有啥运算吧？假设你说向量组的并的秩，只可以说A和B的并的秩小于等于A的秩加上B的秩