求弓形面积要公式，数学弓形面积公式

弓形面积公式：

设弓形AB所对的弧为弧AB，既然如此那，：

当弧AB是劣弧时，既然如此那，S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，既然如此那，S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr2。

当弧AB是优弧时，既然如此那，S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

弓形面积公式是平面几何的基本公式之一，用来计算弓形面积的公式。把弓形弧两端与圆心连结得一个扇形和一个三角形，当弓形弧为劣弧时，弓形面积等于扇形面积减去三角形面积；当弓形弧为优弧时，弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

扩展资料

面积公式，这当中涵盖长方形面积公式、正方形面积公式、扇形面积公式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等各种图形的面积公式。

定理：

1、一个图形的面积等于它的各部分面积的和。

2、两个全等图形的面积相等。

3、等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等。

4、等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。

5、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

6、等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比。

7、任何一条曲线都可以用一个函数y=f(x)来表示，那么这条曲线所围成的面积就是对X求积分。

弓形面积公式为扇形面积—三角形面积。

例如：扇形的圆心角是α，半径是r，

则扇形面积就是αr²/2。

三角形面积就是r²sinα/2。

故此，弓形面积就是（r²/2）×（α-sinα）。

计算弓形面积时，先算出扇形面积与三角形的面积，不用推导公式，但计算时应注意：

（1）当弓形弧是劣弧时，S弓形＝S扇形－S三角形；

（2）当弓形弧是优弧时，S弓形＝S扇形＋S三角形．

1．半径为R的圆的面积公式是S＝圆周率派乘以R的平方．

2．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积公式是S扇形＝(n/360派)R²．

3．若扇形的弧长为l，扇形的半径为R，则扇形的面积公式是S扇形＝(1/2)lR。

弓形面积公式(area formula of the segment of a circle)是平面几何的基本公式之一，用来计算弓形面积的公式。把弓形弧两端与圆心连结得一个扇形和一个三角形，当弓形弧为劣弧时，弓形面积等于扇形面积减去三角形面积；当弓形弧为优弧时，弓形面积等于扇形面积加上三角形面积

高、玄、半径，清楚任意两个可以得出另外一个。

弓形面积=扇形面积减三角形面积。

扇形面积=半径*半径*3.14*圆周角/360圆周角=2arctg（1800/2）/（948-650）=2arctg3.02=2*71.68=143.36度。

扇形面积=948*948*3.14*143.36/360=1123755.46三角形面积=900*298=268200阴影面积=1123755.46-268200=855555.46平方毫米。

计算弓形面积时，先算出扇形面积与三角形的面积，不用推导公式，但计算时应注意：

（1）当弓形弧是劣弧时，s弓形＝s扇形－s三角形；

（2）当弓形弧是优弧时，s弓形＝s扇形＋s三角形．1．半径为r的圆的面积公式是s＝pair2．2．在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积公式是s扇形＝(n/360)pair2．3．若扇形的弧长为l，扇形的半径为r，则扇形的面积公式是s扇形＝(1/2)lr

弓形面积公式：

设弓形AB所对的弧为弧AB，既然如此那，：

当弧AB是劣弧时，既然如此那，S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，既然如此那，S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr2。

当弧AB是优弧时，既然如此那，S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

弓形面积公式是平面几何的基本公式之一，用来计算弓形面积的公式。把弓形弧两端与圆心连结得一个扇形和一个三角形，当弓形弧为劣弧时，弓形面积等于扇形面积减去三角形面积；当弓形弧为优弧时，弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

己知弦高h，弦长α。求弦面积求弦的面积，恐怕没办法求，“弦”是没有宽度的一段线段罢了，那里来的靣积是不是弓形面积按此来做吧。弦AB一端A连结圆心0，0和弦中点D连结。（1）求R。在三角形0AD中由勾股定理R平方=(α/2）平方+(R-h)平方。（2）求圆心角A0B。由sinA0D=(α/2）/R，由正弦值得出角A0D，角A0B=2角A0D。（3）求扇面积S，L(弧长)=2πRx角A0B/360，S=1/2LxR（4）由扇形面积-三角形A0B面积，三角形A0B面积=1/2αx(R-h)。得到弓形面积。

假设一个二次抛物线的拱高是h 跨度是2a 既然如此那， 以水平面中心建立直角坐标系则抛物线方程容易求得 为 y=h/a^2(x^2+a^2)阿基米德用的方式应该类似于微积分 将弓形面积分解成小矩形再加起来。这里直接用积分吧得S=积分(a,-a) h/a^2(x^2+a^2)dx=8ah/3

扇形公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，故此，圆心角为n°的扇形面积：

例如：半径为1cm的圆，既然如此那，所对圆心角为135°的扇形的周长：

C=2R+nπR÷180

=2×1+135×3.14×1÷180

=2+2.355

=4.355(cm)=43.55(mm)

扇形的面积：

S=nπR^2÷360

=135×3.14×1×1÷360

=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形还有另一个面积公式

这当中l为弧长，R为半径 [1]

扇环面积

圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))

圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)

用字母表示：

S内+S外（πR方）

S外—S内=π(R方-r方）

还有第二种方式：

S=π[(R-r)×(R+r)]

R=大圆半径

r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径

还有一种方式：

已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。

d=R-r，

D-d=2R-（R-r）=R+r，

可由第一、二种方式推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，

圆环面积S=π(D-d)×d

这是按照外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，比如圆钢管。

三角形公式

海伦公式

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。

证明： 证一 勾股定理

分析：先从三角形基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，按照勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 这个时候S△ABC为变形（4），故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接得出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一就可以清楚的知道，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 这个时候为S△ABC的变形（5），故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形（2） S = 就可以清楚的知道，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 这个时候S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径产生，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○既然如此那， tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = （1） tg = （2） tg = （3） 按照恒等式，得： + + = （1）（2）（3）代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz （4） 如图就可以清楚的知道：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 （4），得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形（1），故得证。

证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：按照tg = = ∴r = × y （1） 同理r = × z （2） r = × x （3） （1）×（2）×（3）,得： r3 = ×xyz [3]

坐标公式

1：△ABC，三顶点的坐标分别是 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

2:空间△ABC，三顶点的坐标分别是A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则

S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2. [4]

圆公式

设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .

则 面积 S= π·r^2 ； π 表示圆周率

即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方

弓形公式

设弓形AB所对的弧为弧AB，既然如此那，：

当弧AB是劣弧时，既然如此那，S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，既然如此那，S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr^2。

当弧AB是优弧时，既然如此那，S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

计算公式分别是：

S=nπR^2÷360－ah÷2

S=πR^2/2

S=nπR^2÷360+ah÷2

椭圆公式

椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

椭圆面积公式应用实例

椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm²）

菱形公式

定理简述及证明

菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

菱形的面积也可以=底乘高

抛物线弓形面积公式

抛物线弦长公式及应用

本篇文章讲解一个公式,可以简捷准确地得出直线被抛物线截得的弦长,还能用到它来判断直线与抛物线位置关系及处理一部分与弦长相关的试题.方式简单明了,精选整理提供参考.

抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：

抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣= （1）

证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.

∣y1－y2∣==2,

∴∣AB∣=∣y1－y2|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入（1）得∣AB∣=P(1+k2),

于是得出下面推论:

推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k2) （2）

在（1）中,由容易得出下面推论:

推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px

Ⅰ)当P2bk时,l与C交于两点(相交)；

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切)；

Ⅲ)当P2bk时,l与C无交点(相离).

定理应用

下面讲解定理及推论的一部分应用:

例题一 (课本P.57例题一)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不完全一样,可把x看成y用（1）就可以.

解 曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,

即k=1,b=－.由（1）得∣AB∣=4.

例题二 求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的短距离.

分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的短距离.

解 曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.

故所求短距离为.

例题三 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.

解 曲线可变形为(y+1)^2=x+1

(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线对应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.

注:曲线作怎样变形,直线也一定要作对应平移变形,不然出现错误.

例题四 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.

解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由（1）, |OA|=,

|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.

例题五设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由（2）|PQ|=,

已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.

常见的面积定理

1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

2． 两个全等图形的面积相等；

3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；

6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；

7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么这条曲线所围成的面积就是对X求积分