椭圆的极坐标方程怎样推导出的，椭圆形计算公式周长

推导过程请看下方具体内容：

利用极坐标与直角坐标的互换公式

x=ρcosα

y=ρsinα

带进

x²/a²+y²/b²=1

（ρcosα）

²/a²+（ρsinα）²/b²=1

扩展资料：

椭圆的极坐标系方程

函数：用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，一般表示为r为自变量θ的函数。

对称：极坐标方程常常会表现出不一样的对称形式，假设r(−θ)

=r（θ）。

则曲线有关极点（0°/180°）对称，假设r(π−θ)

=

r(θ)，则曲线有关极点（90°/270°）对称，假设r(θ−α)

=

r(θ)，则曲线基本上等同于从极点逆时针方向旋转α°。

椭圆的常见问题还有解法

比如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们撞见截面时停止，既然如此那，会得到两个公共点，明显他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

针对截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，故此，PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方式，也可证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

例子：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（ab0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

1．求椭圆C的方程.

2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的大值.

3．在⑵的基础上求△AOB的面积.

一

分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），就可以清楚的知道a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二

要求面积，明显以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，针对p点面积大，它到弦的距离应大。

假设已经找到p到弦的距离大，过p做弦的平行线，可以

发现这个平行线是椭圆的切线是才会大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2，-2.结合图形得m=-2.x=1.5，y=-0.5，p（1.5，-0.5），

三

直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4， [2]

S=π(圆周率)×a×b(这当中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长)，或S=π(圆周zhi率)×A×B/4(这当中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

椭圆周长计算公式：L=T（r+R）。

T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（涵盖正圆）。

有关椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为开始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。

r：圆柱半径；

α：椭圆所在面与水平面的的视角；

c：对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）；

以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f（c）=r tanα sin（c/r）的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。

扩展资料：

椭圆是紧跟两个焦点的平面中的曲线，让针对曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。

因为这个原因，它是圆的概括，其是具有两个焦点在一样位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，针对椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有不少相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可被定义为一组点，让曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的一样点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

下面这些内容就是哪些比较简单的近似公式：

公式一～五为大多数情况下精度,满足简单计算需；

公式六为高精度,满足比较专业一部分的计算需.

这些公式均满足椭圆的基本规律,

当a＝b时,L＝2aπ,

当b＝0时,L＝0.

期望这些公式可以给椭圆爱好者们带来快乐.

一、

L1=πQN/arctgN

(b→a、Q＝a+b、N＝((a-b)/a)＾2、)

这是按照圆周长和割圆术原理推导的,精度大多数情况下.

二、

L2＝πθ/45°(a-c+c/sinθ)

(b→0,c＝√(a＾2-b＾2),θ＝arccos((a-b)/a)＾1.1、)

这是按照两对扇形组成椭圆的特点推导的,精度大多数情况下.

三、

L3＝πQ(1+MN)

(Q＝a+b、M＝4/π-1、N＝((a-b)/a)＾3.3 、)

这是按照圆周长公式推导的,精度大多数情况下.

四、

L4＝π√(2a＾2+2b＾2)(1+MN)

(Q＝a+b、M＝2√2/π-1、N＝((a-b)/a)＾2.05、)

这是按照椭圆a＝b时的特点推导的,精度大多数情况下.

五、

L3＝√(4abπ＾2+15(a-b)＾2)(1+MN)

( M＝4/√15-1 、N＝((a-b)/a)＾9 )

这是按照椭圆a＝b,b＝0时的特点推导的,精度很好.

椭圆面积计算公式

椭圆面积公式：S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积.

设长半径为a,短半径为b

s= pi*a*b PI是圆周率 =3.1415926

设椭圆方程为 x²/a²+y²/b²=1两边对x取导数得：2x/a²+2yy/b²=0故椭圆上任意一点(x，y)处的切线的斜率k= y=-b²x/(a²y)；若M(xo，yo)是椭圆上的任意一点，既然如此那，过M的切线方程为：y=[-b²xo/(a²yo)](x-xo)+yo.

椭圆的两条切线相互垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。

椭圆方程是

x^2/a^2+y^2/b^2=1

两边对x求导有

2x/a^2+2yy/b^2=0

y=-xb^2/(a^2y)

因为求导表示的是切线斜率

一般情况下,假设某点（x0,y0)在椭圆上

既然如此那，过这点的椭圆切线斜率为k=-x0b^2/(y0a^2)

过这点的切线方程是：

y-y0=-x0b^2/(y0a^2)(x-x0)

整理得

xx0b^2+yy0a^2=y0^2a^2+x0^2b^2=a^2b^2

即 过点(x0,y0)的切线方程是

xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆公式中的a，b，c的关系是a^2=b^2+c^2（ab0）。

长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c。

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。

扩展资料：

椭圆的参数方程：x=acosθ， y=bsinθ。

解答椭圆上点到定点或到定直线距离的值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题解答。

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半 b为短轴长的一半。

椭圆切线法线

设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（其实就是常说的说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。

a²=b²+c²

也可用离心率e=c÷a再用上面的式子算b

第二定义　　平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数） 　　这当中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c或者y=±a^2/c)。 　　椭圆的其他定义按照椭圆的一条重要性质其实就是常说的椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，这个时候k应满足一定的条件，其实就是常说的排除斜率不存在的情况