微分方程公式大全，常微分方程万能公式

微分方程公式：y+P(x)y=Q(x)，微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

一阶微分方程

假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答

若式子可变形为y=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分解答

二阶微分方程

y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。 　　

1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　

2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

前几天刚考完试，按照常出的题型自己做的总结，期望有用处O(∩_∩)O~

解微分方程，为了得到通解，确实需技巧的，每种类型的方程都拥有自己特定的解法。

function dx=tf(t,x) %保存默认的格式 tf.m

dx=zeros(2,1)；

dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2)；

dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2)；

%%%%%主程序调用

[t,x]=ode45(tf,[0 10],[50000 200]) %[0 10] %时间开始点 ,[50000 200]) 初值设置 没有.但有通用的解法,那就数值解法.数值解法是经常会用到的.也是可以反映数学之有用之处的.

万用公式肯定没有，假设是求数值解或者级数解，有不少类型的方程解法差不多的。

不过假设仅仅指高数里面的微分方程那很容易。

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的重点是辨识要解答的方程是什么类型。

可分离变量型，时常是y=f(x)/g(y)或者y=f(x)g(y)这样的，直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。

求根公式型（涵盖常数变易法公式），时常是y=p(x)y+q(x)的形式或者经很简短的变形完全就能够化为这样的形式，直接套用求根公式解答。

伯努利（Bernoulli）方程，y=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中含有y的2次方以上大部分都是这样的方程。

全微分方程，M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的试题，故此，涉及的全微分方程都是直接就是这样的形式。用凑微分法或者直接积分公式都可以解。

高阶常系数微分方程只要能记住齐次通解公式和两个特解形式完全就能够做任何题。

欧拉方程记下来它的算子法或者是变量代换法也足矣了。

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y'的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

1、牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式；

2、格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分；

3、高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分；

4、斯托克斯公式，与旋度相关。

微积分的基本运算公式：

1、∫x^αdx=x^(α＋1)/(α＋1)+C (α≠－1)

2、∫1/x dx=ln|x|+C

3、∫a^x dx=a^x/lna+C

4、∫e^x dx=e^x+C

5、∫cosx dx=sinx+C

6、∫sinx dx=-cosx+C

7、∫（secx)^2 dx=tanx+C

8、∫（cscx)^2 dx=-cotx+C

9、∫secxtanx dx=secx+C

10、∫cscxcotx dx=-cscx+C

11、∫1/(1-x^2)^0.5 dx=arcsinx+C

微分经常会用到公式

[公式描述] 微分在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当ax靠近自己时,函数在ax处的极限叫作函数在ax处的微分.

dy=f'（x）dx

（1）d（C）=0,C为常数

（2）d（x的a次方）=ax的a-1次方dx,a为常数

（3）d（a的x次方）=a的x次方㏑a dx

（4）d（e的x次方）=e的x次方dx

（5）d（㏒aX）=（1/x㏑a）dx

（6）d（㏑x）=1/x dx

（7）d(sin x）=cos x dx

（8）d（cos x）=-sin x dx

（9）d（tan x）=sec²x dx

（10）d（cot x）=-csc²x dx

（11）d（sec x）=sec x tan x dx

（12）d（csc x）=-csc x cot x dx

（13）d（arcsin x）=（1/√1-x²）dx

（14）d（arccos x）=-（1/√1-x²）dx

（15）d（arctan x）=（1/1+x²）dx

（16）d（arccot x）=-（1/1+x²）dx

二阶常系数齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式:y”+py’+qy=0,特点方程r2+pr+q=0

特点方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

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2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方式:

（1） f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特点方程的根,是特点方程的单根或特点方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数

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2.2.（2）f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特点方程的根或是特点方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

微积分基本公式是牛顿-莱布尼茨公式。



1、一般把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x）的微分又可记作dy = f(x)dx。



2、积分分为2种，这当中一种定积分就是求积累起来的量，例如求长度、面积、体积等。为什么说积累，因为无穷多点构成线长度，无穷多线构成面面积，无穷多面构成体体积。二元微分学用平面逼近某曲面，的曲面某点的切平面。



3、积分在初等数学的范围内是没办法解答的，但可以通过转化为二重积分求其广义积分。f是一个有关x和y的函数，称为向量场的势函数。这样叫的因素来自于物理学，在物理学里面，把电势或者重力势称为势能。

1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度相关