偏微分方程是什么，偏积分是什么意思

偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。方程中所出现未知函数偏导数的高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。

在多元函数中，函数对每一个自变量求导，就是偏导数。由此，对每个自变量的微分，就是偏微分。

如：z=f(x,y),

则偏z偏x，就是z对x求导，称为z对x的偏导数，这时y视为常量。

z对y的偏导数同理可求。

偏微分，就是偏导数乘一个dx或dy。

全微分，就是两个偏微分之和。

跟一般的不定积分一样的求法，不过常数项是无关变量的函数

比如?z/?x=y两边对x求积分，得到的结果就是z=xy+φ(y), φ(y)是y的函数

多元函数（以三元函数为例）u=f(x,y,z)如果可微，则全微分 du=f1(x,y,z)dx+f2(x,y,z)dy+f3(x,y,z)dz， （这里f1、f2、f3分别表示u对x、y、z的偏导数 ）f1(x,y,z)dx称为关于x的偏微分，f2(x,y,z)dy称为关于y的偏微分，f3(x,y,z)dz称为关于z的偏微分。 全微分符合叠加原理，即全微分等于各偏微分之和。 偏微分也可以作为偏增量的近似，例如： f(x+△x，y，z）-f(x,y,z)≈f1(x,y,z)dx。 实际上，偏微分是对多元函数（三元或三元以上）求微分的一种方法。它与一元函数微分的作用类似，都可以反映函数的某些局部特征（图形的走势等）

可分为两大分支:解析解法和数值解法。

只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。

数值解法常见的有三种:差分法(普遍通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。

1. 偏微分方程

　　偏微分方程（Partial Differential Equation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。

　　在物理模型中，常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。

2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论

　　一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式：

a∂2u∂x2+b∂2u∂x∂y+c∂2u∂y2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu(x,y)+g(x,y)=0

　　根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式：

　　Δ=b2−4ac0⇒双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统

　　Δ=b2−4ac=0⇒抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统

　　Δ=b2−4ac0⇒椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统

　　常见的经典二阶线性偏微分方程：

　　1) 波动方程：∂2u∂t2−1a2∇2u=f(x,y,z,t)，一维的波动方程 Δ=1a20 属双曲型方程；

　　2) 热传导方程：∂u∂t−k∇2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 属抛物型方程；

　　3) 泊松方程：∇2u=f(x,y,z,t) 其齐次形式 ∇2u=0 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。

3. 初始条件和边界条件

　　正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。

边界条件

　　边界条件规定了未知量 u 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 u 的偏微分方程的区域关于自变量x的边界是x=x1和x=x2（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式：

u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)

　　就构成了一组边界条件。

　　一般地说，边界面的形状记作Σ，则比如：

　　1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：u(x,y)|Σ=ϕ(x,y)

　　2) 第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件（给出未知量的偏导数值）：∂u(x,y)∂n=ψ(x,y)

　　3) 第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件（给出未知量取值和偏导数的线性叠加）：αu(x,y)|Σ+β∂u(x,y)∂n=γ(x,y)

　　边界条件的类型非常丰富，只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件，一些常用但比较特别的比如：

　　a) 规定无穷远处未知量u为零：limr→∞u(x,y)=0,r=x2+y2−−−−−−√；

　　b) 或者正则条件，给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式：u(r)∼1r

　　b) 规定某点处未知量u有界：u(x0,y0)有界

初始条件

　　初始条件规定了未知量 u 在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。比如关于独立变量x,y的未知量u(x,y)：

u(x,y)|x=x0=u0(y),∂u∂x|x=x0=f(y)

　　就构成了初始条件。有时，初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形，实际上也可以理解为一种边界条件，但是初始条件是“单边条件”，即只给出一个变量在一个点的值，而不会给出在整个边界上的信息，因此二者很容易区分。

　　初始条件得名的原因是，给出初始条件往往是对于时间变量t，其物理意义为初始时刻系统的状态。

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y+py+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：

1、△=p^2-4q0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]

;2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]

;3、△=p^2-4q

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

定义

设U⊂ℝn，给定函数f:U→ℝ，p∈U，f在p点的第i偏导数定义为

Dif(p)=limt→0(f(p+tei)-f(p))/t=(f∘c)(0)，其中c为过点p的方向为ei的线c(t)=p+tei

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

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导数的四则运算法则：

1、(u+v)=u+v

2、(u-v)=u-v

3、(uv)=uv+uv

4、(u/v)=(uv-uv)/v^2

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y、f（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

函数y=f（x）在x0点的导数f（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

扩展资料：

导数求导法则：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导

定义2. 1 设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量x时相应地函数有增量 f(x0x,y0)f(x0,y0) 

如果

)处对x的偏导数记为

即

。

同理可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为

.

即

。

1

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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

如果函数zf(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf(x,y)对自变量x的偏导函数简称偏导数记作

.

同理可以定义函数zf(x,y)对自变量y的偏导数记作

.

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

如uf(x,y,z)在(x,y,z)处

2、计算

从偏导数的定义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。

例1求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数

解法一

.



解法二 z

z x113yy

这里我们要知道有时 “先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例

例2 f(x,y,z)x

.

解:

.

例3 已知理想气体的状态方程pVRT R为常数求证 pVTVpT1 .2

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证明 p

;

.

有关偏导数的几点说明

1、 偏导数

是一个整体记号不能拆分;

2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求

例如,zf(x,y) xy,求

.

解

.

例4设f(x,y)

)的偏导数。

解当(x

当(x,y)(0,0)时,按定义可知

,

,

故

.

 、偏导数存在与连续的关系

一元函数中在某点可导 函数在该点一定连续但多元函数中在某点偏导数存在 函数未必连续.

例如

)处fx(0,0)fy(0,0)0.但函数在该点处并不连续.

3

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4、偏导数的几何意义

设M0(x 0,y 0,f(x 0,y 0)) 是曲面zf(x,y)上一点则

偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.

二、高阶偏导数

设函数zf(x,y)在区域D内的两个偏导数fx(x,y) 、 fy(x,y)的偏导数也存在则称它们是函数zf(x,y)的二阶偏导数。记作

)

)

定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例5设z

.

解

.

例6设ueax cosby求二阶偏导数.

解

问题混合偏导数都相等吗

例7设f(x,y)

.

解当(x,y)(0,0)时,

4

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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

,

当(x,y)(0,0)时按定义可知

,

,

显然fxy(0,0)fyx(0,0).

问题具备怎样的条件才能使混合偏导数相等

定理2. 1 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数

内连续那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

例8验证函数u(x

.

证明 ln x

,





证毕.

内容小结:

1.偏导数的定义偏增量比的极限

2.偏导数的计算、偏导数的几何意义

3.高阶偏导数纯偏导混合偏导及其相等的条件.

1.个人理解，耦合是函数关系。

2.通俗的说，是方程组中各个方程之间的独立关系。

3.如迎风格式的常系数方程组进行特征形式变换后，系数矩阵的各个特征值的正负就确定了，而不像之前的系数矩阵中的值是可正可负的。即特征形式的方程组已经不再耦合。由此可再进行对迎风格式从单一的方程到方程组的推广。 参考资料： 《偏微分方程的数值解法》