e的级数公式，ex的幂函数展开

对无穷幂级数：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

=∑x^k/k!=(k=0,1,2,……)，令x=1得：

e=∑1/k!(k=0,1,2,……)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+……

如取前五个得近似值e≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.71

e^x是一个指数函数，定义域为R 其中e1，函数在定义域也就是x∈R内递增，值域为(0,+∞)。

y=f(x)=e^x，

定义域是x∈R，即x属于全体实数集。

解：y=e^x

是底数为自然对数e,指数为x的指数函数，e约等于2.871

单调递增。泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：

f（x）=ex,

∴f′（x）=f″（x）=.=f^n（x）=ex

∴f（0）=f′（0）=f″（0）=.=f^n（0）=1

函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|e^x|≤e^r（n=1,2）

所以函数ex可以在区间[-r,r]上展开成幂级数,

结果为

e^x=1+f(0)x/1!+f(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!

泰勒公式：f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n

现在f(x)=1/(1-x)，求导得到f(x)= -1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2，f(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)=2/(1-x)^3，以此类推得到fn(x)=n! /(1-x)^(n+1)

代入a=0，那么f(0)=1，f(0)=1，fn(0)=n!

所以解得f(x)=1+1!/1! *x+2!/2! *x^2+...+n!/n! *x^n

扩展资料

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。

e的x次方展开成x的幂级数是f(x)=e^x=x+x^2/2!+x^3/3!+。一般用x表示实数时,e^x是实变函数。y=e的x次方是以无理数e为底的指数函数,x属于全体实数,也可以为虚数。解:y=e^x是底数为自然对数e,指数为x的指数函数,e约等于2.871单调递增。e的x次方是指数函数,是一种基本初等函数。

还是我来解释吧。

我们常用泰勒公式把函数f(x)展开成幂级数的形式，通常会说在x=x0处展开，这首先要满足函数在领域(x0,δ）有定义，有直到n阶的导数f(x0)，这样我们就可以在x=x0处用taylor公式展开了。

当然如果在x=0处满足上面的条件，那么可以在x=0处展开，这就是所谓的马克劳林公式，是泰勒公式的特殊情况。

我们常用的初等函数幂级数表就是在x=0处展开的。好了，我的微积分也快忘完了。打住了。

可以简单推导一下：

1/(1-x) = 1+x+x^2+...+x^n+...

integral from 0 to x,

ln(1-x) = x+x^2/2+...+x^n/n+...

lnx = ln(1-(1-x)) = (1-x)+(1-x)^2/2 + ... + (1-x)^n/n + ...

Answer: lnx = -(x-1)+(x-1)^2/2 + ...+ (-1)^n(x-1)^n/n+..., n from 1 to infinity

osx展开成幂级数方法：

1、求出f(x) 的各阶导函数，并且它们在x=0处的各阶导数值，如果某一阶导数不存在，则函数无法展开成幂级数；

2、写出幂级数 f(0)+f(0)x+[f(0)/2!]x^2+...+[f(n)(0)/n!]x^n+...（其中f(n)(0)表示在x=0处的n阶导数值），并求其收敛半径R；

3、考察x在区间（-R，R）内时余项R（n)的极限是否为零，R(n)=[f(n+1)(a)/(n+1)!]x^(n+1),a是0到x之间的某个数，若为零则上式就是展开式。

cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-...+(-1)^n*x^2n/(2n)!+...,x属于R。

幂级数含义：

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

幂级数的和函数：

若对幂级数中的每一个x都有a +a x+a x+…+a x+…=S(x)，则称S(x)为幂级数的和函数。

x的n次方泰勒展开式公式为：（x-1)^n=Cn0x^n+Cn1x^(n-1)(-1)^1+Cn2x^(n-2)(-1)^2+……+Cn(n-1)x(-1)^(n-1)+Cnn(-1)^n（x+1)^n