容斥原理三大公式，三个容斥原理公式

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的

三集合容斥问题公式：

（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都不满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是中间三者重叠的部分减去了三次，相当于被挖空了，所以还得加上它。

（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都不满足的个数

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。

（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都不满足的个数。

解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于只有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。

容斥原理用于计算集合并集的元素个数,公式为：

n(A1+A2+……+Am)=n(A1)+n(A2)+……+n(Am)-n(A1A2)-n(A1A3)-……-n(A1Am)

-n(A2A3)-n(A2A4)-……-n(A2Am)-……-n(Am-1Am)+n(A1A2A3)+n(A1A2A4)+……

+n(Am-2Am-1Am)-……+(-1)^(m-1)*[n(A1A2……Am)]

注:n(A)表示集合A的元素个数,A+B表示A∪B,AB表示A∩B

设总数为m，三个集合为a，b，c。a之外为m－a，b之外为m－b，c之外为m－c，所有集合之外的和为m－a＋m－b＋m－c。

要小值，那么m-a必须是大值，m-a看做是不属于a的，同理m-b不属于b的，m-c看做是不属于c的。不重合的话 m-a+m-b+m-c 大，值小。

再用m减去上述和值得ABC＝m－（m－a＋m－b＋m－c）＝a＋b＋c－2m

A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实际的解题中注意两点：

①有不符合ABC任意一项的，并未在图中展示。

②A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。

二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。

扩展资料：

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

这是容斥原理，S表示的是选取的集合，可以用｛An1，An2，。。。，Ank｝（n1，。。。，nk属于【n】）表示,|S|是选取的集合个数，在上面集合中为k

设总数为m，三个集合为a，b，c。a之外为m－a，b之外为m－b，c之外为m－c，所有集合之外的和为m－a＋m－b＋m－c。

要小值，那么m-a必须是大值，m-a看做是不属于a的，同理m-b不属于b的，m-c看做是不属于c的。不重合的话 m-a+m-b+m-c 大，值小。

再用m减去上述和值得ABC＝m－（m－a＋m－b＋m－c）＝a＋b＋c－2m

计数的事物计算方法

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

为了使重叠部分不被重复计算，需要先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。