欧拉方程公式，欧拉公式是什么时候学的

欧拉公式

1752年欧拉证明的定理

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其 为 Descartes定理。R+ V- E= 2就是欧拉公式。

基本信息

中文名

欧拉公式

外文

Eulers formul

别名

欧拉

证明

用数学归

( 1)当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点，则 该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：

①减少一个区域和一条边界；

②减少一个区 域、一个顶点和两条边界；

③减少一个区域、两个顶点和三条边界；

即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了，在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。

因此，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。 .

柯西的证明

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下：

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）的额外变换。

若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。

除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。

（逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形（把外部数在内），。所以。

推理证明

设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的。因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.

考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.

添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.

以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如

增添两个面后，有关系E=V+2;

增添三个面后，有关系E=V+3;

……

增添(F-2)个面后，有关系E=V+ (F-2).

后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加。因此，关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式。它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

分式

当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。

后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

欧拉公式 欧拉公式有4条 （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。

后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。

后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

不考欧拉公式。数学三中欧拉公式在课外阅读中，不属于考试内容，大纲中也没有作要求，所以不考的。欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，V-E+F=2，它只适用于凸多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理学公式F=fe^ka等。

是应用欧拉公式再求模。其详细过程，设z=x+iy。∵sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)，将z=x+iy代入， ∴sinz=[e^(ix-y)-e^(y-ix)]/(2i)=[(cosx+isinx)e^(-y)-(cosx-isinx)(e^y)]/(2i)。

进一步整理， 有sinz=[e^y+e^(-y)]sinx/2+[e^y-e^(-y)](cosx)i/2。再按模的定义求出丨sinz丨即可得。

用两个方程，一个是欧拉公式：exp(ix)=cosx+isinx

在用（-x）代替x代入欧拉公式中得到另一个方程：exp[i(-x)]=cos(-x)+isin(-x)

解这两个方程可以得到

sinx= [exp(ix)-exp(-ix)]/2i

cosx= [exp(ix)+exp(-ix)]/2

欧拉公式

欧拉公式有4条

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中重要的e、i、π、1、0联系起来了。

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

等等

1、欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中著名的有：复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数和三角函数联系起来，拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。此外还包括其它一些欧拉公式，如分式公式等。

2、分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)，当r=0,1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

3、复变函数：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

由方程系数直接把根表示出来的数学计算公式。

求根公式:ax²+bx+c=0（a≠0）

求根公式:

x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。