高一下册数学平面向量公式，一个平面的向量怎么表示

1、三角形法则 2、平行四边形法则

设a向量=（x1,y1),b向量=（x2,y2),则：a向量+b向量=（x1+x2,y1+y2)

减法三角形法则：设a向量=（x1+y1),b向量=（x2,y2),则：a向量+b向量=（x1-x2,y1-y2)

a向量*b向量=b向量*a向量

一般式：

，其中

不能同时为零；斜截式：

,其中

是斜率(slope)，表示直线与x轴正方向夹角的正切值，

是纵截距(y-intercept,截距可以是负值)，表示直线与y轴的交点的纵坐标；点斜率：

,其中

表示直线上一点，

表示直线斜率；截距式：

,其中

分别表示直线与x轴和y轴的截距，也就是与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标；两点式：

，其中

表示直线上两点坐标；

上述这些，我们学的都是在二维平面中的直线表示，如果到三维空间中直线该如何表示呢？那么进一步一个平面又该如何表示呢？

那么本文就来介绍一下直线与平面的向量表示。

一、直线的向量表示

已知直线上点

和直线的的方向向量

,根据向量的加法运算就可以把直线上任意一点

都可以表示出来。

因为

，

，

所以，

。

这可以理解为直线上任意一点都可以由直线上一已知点按照方向向量平移得到。根据上述原理我们可以到直线在二维、三维情况下的向量表示。

（1）二维直线向量表示

其中

是直线上点坐标，

是方向向量，

是参数。

根据上述式子很容易得到直线的参数方程：

，

也把

消去得到直线的笛卡尔坐标形式：

（2）三维直线向量表示

其中

是直线上一点，

是方向向量。

同理可以到直线的参数方程：

笛卡尔坐标形式:

比如给一直线方程

，

那么可以知道该直线过

，且方向向量为

。

二、平面的向量表示

平面的向量表示有两种不同的方法:一种是利用向量的合成，一种是利用法向量。

（1）向量的合成

如果已知平面内一点

和两个不平行的向量

和

，那么平面内任意一点

都存在常数

使得下式成立：

,

又因为

，

所以，

,即：

我们二维的平面直角坐标系也可以看成是两个相互垂直的基向量加减运算得到：

（2）法向量

把与平面中任意向量都相互垂直的向量称为法向量。如果已知平面上一点

和平面的法向量

，那么点

和平面内任意一点

所构成的向量

与法向量垂直可得：

所以，

,

得到平面的一般方程：

。

因此，型如

的都是直线方程，且

是该平面的法向量。

比如给一平面方程

，那么该平面的法向量为

；那么如果平面方程为

其法向量为多少呢？

其法向量为

。

至此，直线和平面的向量表示都已经介绍完毕，在此基础上向量还有两个重要的应用：距离与夹角。距离主要是点到直线距离以及点到面的距离，可以参阅下文：

双木止月Tong：【“数”你好看】点到直线与面的距离公式

夹角主要是直线与直线的夹角、直线与平面的夹角以及平面与平面的夹角，俗称线线角、线面角以及面面角。这些主要都应用了向量的点乘

两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0

坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)

a//b当且仅当x1y2-x2y1=0，a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

平面向量平行公式：x1y2-x2y1=0。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。一般来说，在物理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。舍弃实际含义，就抽象为数学中的概念──向量。在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。

平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。

1.方向相同宫或者相反的非零向量称为平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。

2.在初中数学，向量（也称之为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具备尺寸（magnitude）和方向的量。它能够具象化地表述为带箭头符号的直线。箭头符号所说：代表向量的方向；直线长短：代表向量的尺寸。与向量对应的量称为总数（物理学中称标量），总数（或标量）只有大小，沒有方向。

长短相等且方向相同的向量称为相等向量．向量a与b相等，记作a=b。要求：全部的零向量都相等。当用有向线段表示向量时，起始点能够随意选择。随意2个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表明，而且与有向线段的起始点无关．同方向且等长的有向线段都表示相同向量。

平面向量夹角公式：cos=(ab的内积)/(|a||b|)

（1）上部分：a与b的数量积坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

（2）下部分：是a与b的模的乘积：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则(|a||b|）=根号下（x1平方+y1平方）*根号下（x2平方+y2平方）

向量的夹角就是向量两条向量所成角。这里应当注意，向量是具有方向性的。BC与BD是同向，所以夹角应当是60°。BC和CE你可以把两条向量移动到一个起点看，它们所成角为一个钝角，120°。

扩展资料

向量：在数学中，向量指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量，数量只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; +0= ＋(－ )=0. 1．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜•｜ ｜

; (2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0． (3)若 =（ ），则 • =（ ）． 两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2． 2．P分有向线段 所成的比： 设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0； 分点坐标公式： 3． 向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

（2）．两个向量的数量积：

（3）．向量的数量积的性质：

(4) ．向量的数量积的运算律： 4.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。