定比分点公式及推导，三等分点坐标公式推导

定比分点公式多用于向量计算,是高中数学中经常会用到的公式之一 在直角坐标系内,已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)；在两点连线上有一点P,设它的坐标为(x,y),且线段AP比线段PB的比值为λ,既然如此那，我们说P分有向线段AB的比为λ 且P的坐标为 x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ) y=(y1 + λ · y2) / (1 + λ)

定比分点公式的情况特殊

中点公式： 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，设两点中点为P（x，y） 则 x=(x1+x2)/2；y=(y1+y2)/2 . 三角形重心公式： 已知三角形ABC [A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）]，设三角形重心为G（x,y） 则x=(x1+x2+x3)/3；y=(y1+y2+y3)/3

定比分点公式

一、定义与公式

定义：在直角坐标系内，设P1P2是有一条有向线段(即起点是P1，终

点是P2)，点P是该线段所在直线上的一点。假设点P分有向线段P1P2

所成的两条有向线段P1P和PP2，它们的长度比为λ(λ≠−1)，即|P1P|/|PP2|=λ，则称点P是分有向线段P1P2成λ的定比分点

定比分点公式：

在平面直角坐标系中，

若设点p1（x1,y1） ，p2（x2,y2），λ为实数，且向量p1p=λ向量pp2

即 p1p=λpp2

由向量的坐标运算，得p1p=（x-x1,y-y1） ，pp2=（x2-x, y2-y）

∴ （x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）

∴ 定比分点公式为，

λ=（x-x1）/（x2-x）

λ=（y-y1）/（y2-y）

定比分点坐标公式：

∴λ=（x-x1）/（x2-x）

∴λx2-λx=x-x1 λx2+x1=λx+x

得，x=（λx2+x1）/（λ+1）

同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）

非常的：当λ=1时，x=（x2+x1）/2

y=（y2+y1）/2

那就是中点坐标公式。

在直角坐标系内，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；

在→P1P2所在直线上有一异于P2的点P，设它的坐标为(x，y)，

既然如此那，λ=→P1P/→PP2=(P-P1)/(P2-P)

=[(x，y)-(x1，y1)]/[(x2，y2)-(x，y)]

=(x-x1，y-y1)/(x2-x，y2-y)

(x-x1)/(x2-x) -（1）

={

(y-y1)/(y2-y) -（2）

注：→P1P表示“向量P1P”

则λ称为点P分→P1P的比，它是实数，取值范围为R；

由上式（1）、（2）就可以清楚的知道

x=(x1+λx2)/(1+λ)

{

y=(y1+λy2)/(1+λ)

定比分点公式

向量形式

坐标形式

推论

定比分点公式大多数情况下指有向线段的定比分点的坐标公式是平面几何和剖析解读几何的基本公式。定比分点公式不仅仅是剖析解读几何中有十分广泛的应用，还可以用它处理代数问题，它是我们推导公式、计算、证明问题经常会用到的基本公式。