log的换底公式的推导，换底公式及其推论的推导过程

对数的换底公式推导是设log(s)b=M，log(s)a =N，log(a)b=R，则s^M=b，s^N=a，a^R=b，即(s^N)^R=a^R=b，s^(NR)=b，故此，M=NR，即R=M/N，log(a)b=log(s)b/log(s)a。

换底公式是高中数学经常会用到对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中经常会减少计算的难度，更快速的处理高中范围的对数运算。

换底公式是一个非常重要的公式，在不少对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。另有两个推论。

loga(b)表示以a为底的b的对数。

换底公式就是

log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1）

推导过程

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）

则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)

按照对数的基本公式

log(a）(M^n)=nloga(M)和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M

易得

log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x

由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1

公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明请看下方具体内容：

由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) -取以b为底的对数

log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

log换底公式是：loga(N)=logb(N)/logb(a)。

证明：loga(N)=x，则a^x=N，两边取以b为底的对数，logb(a^x)=logb(N)，xlogb(a)=logb(N)，x=logb(N)/logb(a)，故此，loga(N)=logb(N)/logb(a)。

换底公式是高中数学经常会用到对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中经常会减少计算的难度，更快速的处理高中范围的对数运算。

∵log以e为底X的对数的换底公式LgX/Lge

换底公式是一个非常重要的公式，在不少对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。 log（a）（b）表示以a为底的b的对数。 这里说的的换底公式就是 logab=log(n)(b)/log(n)（a）

对数函数的倒数可以直接算，例如1/㏒ax（做个说明，a是底数，x是真数），第一算出㏒ax，假设等于t后面，在算1/t完全就能够了，也可按照换底公式，将1/㏒ax变为㏒xa（这里x为底数，a为真数）。对数函数是高中数学的必修课，对数的计算公式也非常多，故此，学生一定要熟练掌握并熟悉。

对数的倒数关系公式是log(N)a=1/log(a)N。在数学中，对数是对求幂的逆运算，这算是一个数字的对数是一定要出现另一个固定数字（基数）的指数。

对数的性质有：以10为底的对数叫做经常会用到对数，并记为lgN。称以无理数e为底的对数称为自然对数，并记为lnN。零没有对数。在实数范围内，负数无对数；在虚数范围内，负数是有对数的。

对数函数的倒数等于对数的底数和对数互换。例如log(2)3=ln3/ln2故其倒数为ln2/ln3=log(3)2