大学难的物理公式，小学数学必背公式全集打印版

物理学界难的方程，描绘的竟是看似简单的平日情况。这个赏金高达百万美元的纳维-斯托克斯方程中，隐藏着什么有关流体的奥秘？

物理学中包含了非常多公式，它们描绘着物理学的种种情况，从宏观时空的延展到微观光子的碰撞。在全部这些公式中，有一组公式在数学上也极具挑战性，甚至被美国克雷数学研究所选作七个“千禧年大奖难题”之一，与庞加莱猜想、P=NP？等数学界的顶级难题并列，处理这个问题的奖金高达100万美元。而这个物理界难的公式，就是用于描述流体运动的纳维-斯托克斯方程。

近，一项有关纳维-斯托克斯方程的新研究得以发表。某种程度上，新的研究成果说明攻克这项千禧年大奖难题比预想的还需要困难。为什么用数学理论阐明这组方程是如此困难，甚至相比之下，用于描述奇特黑洞的爱因斯坦场方程都显得更容易一部分？

湍流，就是答案。这是一种再常见不过的情况。不管是在3万英尺高空飞行时颠簸的气流，还是家里浴缸出水口形成的漩涡，实质都是湍流。然而熟悉的湍流反而物理世界中很难理解的部分之一。

一条平稳流动的河流是一个典型的无湍流体系，河流的每一些以一样的速度运动。湍流则打破了这一规律，让水流不一样部分的运动方向和运动速率都不一样。物理学家将湍流的形成描述为：第一，平稳流动中产生一个涡流，这个涡流中会形成更多小涡流，小涡流进一步分化，让流体被分解成不少离散的部分，在各自运动方向上与其他部分相作用。

科学家们期望理解的是，平流如何循序渐进瓦解成为湍流、已出现湍流的体系后面的形状是什么样演变的。但千禧年大奖悬赏的是更为简洁的问题：证明方程的解总是存在。换句话说，这组方程能不能描述任何流体，在任何开始条件下，未来任一时间点的情况。

“第1个步骤就是要尽力证明这些方程可以出现一部分解，”来自普林斯顿大学的数学家Charlie Fefferman说道，“尽管这依然不会能让我们真正理解流体的行为，但不这样做，就完全没办法入手这个难题。”

如何证明那些解存在呢？第一可以考虑方程在什么条件下会“无解”。纳维-斯托克斯方程组涉及流速、压力等物理量的变化。数学家们关心的这样的情况：你在运算这组方程，经过有限时间，系统中产生一个以无限速度运动的粒子。那样就可以很麻烦：针对一个无限大的量，我们没办法计算出它的变化。数学家们把这样的情况称为“发散”（blowup）。在“发散”的情况下，方程失效，解也就不复存在。

纳维-斯托克斯方程

证明“发散”的情况不会出现（或者说方程解总是存在），基本上相当于证明流体中任何粒子的大运动速率，被限制在某一有限的数值之下。有关物理量中，重要，要优先集中精力的量是流体中的动能。

当我们用纳维-斯托克斯方程对流体建模，流体会具有一定初始能量。但是，在湍流中，这些能量会聚集起来。原本均匀分散在流体中的动能，可能会聚集在任意小的涡流中，那些涡流中的粒子在理论上可以被加速到无限大的速度。

“当我的研究进入越来越小的尺度，动能针对方程解的控制作用则越来越弱。解可以是任意的，但我不清楚如何去限制它。” 普林斯顿大学的Vlad Vicol说到，他和Tristan Buckmaster合作完成了相关纳维-斯托克斯方程的新工作。

按照方程失效的尺度，数学家们对像纳维-斯托克斯这样的偏微分方程进行分类。纳维-斯托克斯方程就处于分类谱系的极端。这组方程中的数学难度，某种意义上精确地反映出其所描述湍流体系的复杂程度。

“在数学的视角看，假设你将某一点放大，既然如此那，就可以失去解的部分信息，”Vicol解释说，“但是，湍流的研究恰恰就是这样-动能从宏观传递向越来越小的尺度。故此湍流的研究要求你持续性地放大。

当谈及物理背后的数学公式，我们很不自觉的会想到：这会不会给我们研究物理世界的方法带来变革？纳维-斯托克斯方程和千禧年大奖引出的答案不仅是肯定也是不是定的。经过近200年的实验，这些方程确实有效：由纳维-斯托克斯方程预测的流体流动与实验中观察到的流动总是符合的。假设你是一位物理学家，实验中这样的完全一样性可能已经足够。但数学家需的更多-他们想要确定这组方程是不是具有普遍性，想要精确捕捉流体的瞬时变化（不管哪种初始条件），甚至去定位湍流出现的那个起点。

Fefferman说：“流体行为的诡谲总是令人惊叹。而那些行为理论上可以用这组基本方程来解释。它能很好地描述流体的运动。但是，从方程描述流体运动到描述任意流体的真实运动，这一过程也还是未知。”

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