欧拉方程推导全过程，流体力学欧拉方程公式

eix = 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …

= (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)。

又因为：

cos x = 1 - x2/2! + x4/4! + …+。

sin x = x - x3/3! + x5/5! + …+。

故此，eix = cos x + i sin x。

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes第一给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

欧拉公式

1752年欧拉证明的定理

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes第一给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其 为 Descartes定理。R+ V- E= 2就是欧拉公式。

基本信息

中文名

欧拉公式

外文

Eulers formul

别名

欧拉

证明

用数学归

( 1)当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，让在 去除 X 和 Y 当中的唯一一条边界后，地图上唯有 m 个区域了；在去除 X 和 Y 当中的边界后，若原该边界两端 的顶点目前都还是 3条或 3条以上边界的顶点，则 该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一 端或两端的顶点目前成为 2条边界的顶点，则去除 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是 ,在去除 X 和 Y当中的唯一一条边界时唯有三种 情况：

（1）减少一个区域和一条边界；

（2）减少一个区 域、一个顶点和两条边界；

（3）减少一个区域、两个顶点和三条边界；

也就是在去除 X 和 Y 当中的边界时 ,不论哪种情况都理所当然有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上面说的过程反过来 (马上就要 X 和 Y当中去除的边 界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了，在 这一途中肯定是“增多的区域数 + 增多的顶点数 = 增多的边界数”。

因为这个原因，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)就可以清楚的知道 ,针对任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。 .

柯西的证明

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，总体请看下方具体内容：

从多面体去除一面，通过把去除的面的边相互拉远，把全部剩下的面变成点和曲线的平面互联网。不失大多数情况下性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不可以再是正常的多边形就算启动时它们是正常的。但是点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应互联网的外部。)

重复一系列可以简化互联网却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）的额外变换。

若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增多一条边和一个面。继续增多边直到全部面都是三角形。

除掉唯有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。

（逐个）除去全部和互联网外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。针对一个三角形（把外部数在内），。故此，。

推理证明

设想这个多面体是先有一个面，然后故将他他各面一个接一个地添装上去的。因为一共有F个面，因为这个原因要添(F-1)个面.

考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.

添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且，有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，故此，增多的棱数比增多的顶点数多1，因为这个原因，这时E=V+1.

以后每增添一个面，总是增多的棱数比增多的顶点数多1，比如

增添两个面后，相关系E=V+2；

增添三个面后，相关系E=V+3；

……

增添(F-2)个面后，相关系E=V+ (F-2).

后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增多。因为这个原因，关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式。它表达2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

分式

当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

证明1:　(归纳面）将一个图先 "嵌入" 二维平面得到图G.当G唯有一个面时 : E(1) = V(1) - 1 + F(1) - 1当G有N个面时,设: E(N) =V(N-1) - 1 +F(N-1) - 1我们去除一条G中两个面的一条临边, 得到G有 N-1个面时E(N-1) = E(N)- 1V(N-1) = V(N)F(N-1) = F(N)故: E(N-1) =V(N-1) - 1 + F(N-1) - 1丛而归纳出欧拉公式成立证明2：　（归纳顶点）将一个图先 "嵌入" 二维平面得到图G.当G唯有一个顶点时 (一个简单环 )F(1) + V(1) - E(1) = (E(1) + 1) + 1 - E(1) = 2当G有N个顶点时, 假设结论成立我们去除一条G中两个面的一条临边, 得到G有 N-1个面时 ,面和边各减少1. 故结论成立证明3：　（归纳边）和上面的方式一个思路略.

正弦函数的欧拉公式为：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)，余弦函数的欧拉公式为：cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2. 需要大家特别注意的是，虽然我们可以检验(sinx)^2+(cosx)^2=1，但却不可以用这样的检验法来证明这两个公式。不然就有可能会推出其它错误的结论。那这两个公式究竟是咋来的呢？

假设用逆向思维反推，我们可以由正弦函数的欧拉公式得到e^(ix)-e^(-ix)=2isinx；由余弦函数的欧拉公式得到e^(ix)+e^(-ix)=2cosx. 把它们当成是有关e^(ix)和e^(-ix)的二元一次方程组，两式相加可以得到e^(ix)=cosx+isinx；两式相减则得到e^(-ix)=cosx-isinx. 其实，记f(x)=e^(ix)=cosx+isinx，既然如此那，就有f(-x)=e^(-ix)=cosx-isinx，其实就是常说的说，它们是同一个公式的两种形态。

检验e^(ix)=cosx+isinx需运用到e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!；

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!, (n=2m)；

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!, (n=2m+1).

用ix替换e^x的省略余项的麦克劳林公式中的x，完全就能够得到：

e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+i(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!

=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!)

=cosx+isinx.

这个问题就证明了sin和cos的欧拉公式成立。

然而，欧拉在推导公式时，反而反过来的。他是先由e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式，将e^x的x替换成±ix，推出e^(ix)=cosx+isinx和e^(-ix)=cosx-isinx。再把两者当成有关sinx和cosx的二元一次方程组，以此得到sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)和cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2的。

此外对x取π，代入e^(ix)=cosx+isinx得到e^(πi)+1=0，即e^(πi)=-1，它被誉为“上帝创造的公式”。

欧拉公式还有不少拓展，这里没办法一一尽述，但是，它的奇妙之处吸引了大量数学家对其进行研究，有兴趣我们也可继续探究下去。