伯努利双纽线面积积分公式，双纽线积分求面积积分上限如何确定

双纽线积分求面积的方式是s＝1/2θR^2，双纽线，也称伯努利双纽线，设定线段AB长度为2a，

这是极坐标下求扇形面积的公式，就好象求三角形面积S=1/2底*高。求圆扇形就是

S=1/2（R*R*α），积分就是广义的扇形求面积，S=1/2∫R*Rdt ,α，t是弧度。

你不可以用直角坐标来理解极坐标，直坐标直接积分几何意义是面积，长*宽=面积，

极坐标直接积分 半径*弧度不是面积，几何意义明显不同，极坐标下面积是大量扇形的累加，面积元素是1/2极径*极径*α。直角坐标下求弧长就难了一点，双纽线是容易求面积的曲线了，因为它方程刚好以平方形式产生。

双纽线方程是ρ^2=a^2*cos2θ，要化成参数方程，按照x=ρcosθ，y=ρsinθ，将ρ=a√cos2θ，代入即得参数方程：x=a√(cos2θ)cosθ，y=a√(cos2θ)sinθ，这里的参数为θ。

双纽线也称伯努利双纽线，设定线段AB长度为2a，动点M满足MA*MB=a^2，既然如此那，M的轨迹称为双纽线。ρ^2=a^2*cos2θ的导数方程：ρ=-a*sin(2θ)*(cos2θ)^(-0。

5)即ρ*ρ=-a^2*sin(2θ)ρ^2=a^2*sin2θ的导数方程：ρ=(sin(2θ))^(-0。5)*a*cos(2θ) 即 ρ*ρ=a^2*cos(2θ)。

双纽线的极坐标方程为r²=a²cos2t,t∈[-π/4,π/4]∪[3π/4,5π/4]

由图形的对称性还有公式S=0.5∫ r²(t)dt

可得面积S=4* 0.5* ∫[0,π/4] a²cos2t dt

=a² sin2t| [0,π/4]

=a²

双钮线(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)，由ρ∧2=x∧2+y∧2，x=ρcosθ，y=ρsinθ化简得，代入直角坐标方程有ρ∧4=2a∧2*ρ∧2(cos∧2θ-sin∧2θ)，再由二倍角公式就推导出来了

极坐标与参数方程公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x，x²+y²=ρ²。

极坐标与参数方程公式

坐标系与参数方程公式

x=ρcosθ，y=ρsinθ

tanθ=y/x,x²+y²=ρ²

有部分曲线的方程在直角坐标里面不太好处理，于是我们把它换在极坐标中处理。

比如经过上面式子的变换：

以原点为圆心的圆的方程：ρ=R

双曲线，椭圆，抛物线的极坐标统一形式：ρ=eP/（1-ecosθ），P为焦准距，e为离心率。

常见参数方程

极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，一般用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标方程常常会表现出不一样的对称形式，假设ρ(−θ）=ρ（θ），则曲线有关极点（0°/180°）对称，假设ρ（π-θ）=ρ（θ），则曲线有关极点（90°/270°）对称，假设ρ（θ−α）=ρ（θ），则曲线基本上等同于从极点逆时针方向旋转α°。

圆

在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为

ρ=2rcos（θ-φ）

另：圆心M(ρ,θ)半径r的圆的极坐标方程为:

(ρ)²+ρ²-2ρρcos(θ-θ)=r²

按照余弦定理可推得。

直线

经过极点的射线由请看下方具体内容方程表示

θ=φ，

这当中φ为射线的倾斜的视角，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r′，φ）处的直线与射线θ=φ垂直，其方程为r′（θ）=r′sec（θ-φ）。

玫瑰线

极坐标的玫瑰线是数学曲线中很著名的曲线，看上去像花瓣，它只可以用极坐标方程来描述，方程请看下方具体内容：

r（θ）=acoskθ

或r（θ）=asinkθ，

假设k是整数，当k是奇数时既然如此那，曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。假设k为非整数，将出现圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能出现4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

右图为方程r（θ）=θfor0θ6π的一条阿基米德螺线。

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）=a+bθ，

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，一般其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ0，另一条θ0。两条螺线在极点处平滑地连接。把这当中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线

圆锥曲线方程请看下方具体内容：r=ep/(1+ecosθ)

这当中l表示半径，e表示离心率。假设e1，曲线为椭圆，假设e=1，曲线为抛物线，假设e1，则表示双曲线。

或者r=ep/(1-ecosθ)

这当中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。

其他曲线

因为坐标系统是根据圆环的，故此，不少相关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡儿坐标系）简单得多。例如双纽线，心脏线。