卷积公式例题，卷积分配律的证明

[10,23,23,27,19,13,12,15,21,29,25,13,10]

这个方式很简单,你把两个序列像做乘法一样X列上、H列下,右端对齐.X列从右边第一个数5启动向左遍历,均乘以H列右侧第一个数2,这样得到一个新的数列,这个数列右端与H列中右端的2对齐.然后X列从右端启动向左遍历,每个数乘以H列中的1,也形成新的序列,这个序列右端与H列的1对齐.从而类推,形成四个序列,然后从上到下相加,就是后结果.

这个计算的竖式与乘法基本上都差不多,只是不用进位.因为计算的竖式是立体结构的,没办法在这里表达,故此，你就发挥想象来理解这段文字吧,多动动脑子.我也没学复变.这是按照信号与系统里离散时间信号卷积的计算方式得来的.假设有疑惑和不解请自行查阅有关书籍.只要看个例题就可以了

卷积是分析数学中一种重要的运算。

假设将参与卷积的一个函数当成区间的指示函数，卷积还可以被当成是“滑动平均”的推广。

分配律是离散信号卷积和运算经常会用到的哪些基本运算规则之一，离散序列卷和运算满足分配律，即两个序列先行相加运算再与第3个序列做卷和运算，其结果等于这两个序列分别与第3个序列先做卷和运算，然后二者再相加。

圆周卷积可以经由圆周卷积定理使用迅速傅立叶变换（FFT）而有效率的计算。因为这个原因，若原本的（线性）卷积能转换成圆周卷积来计算，会远比直接计算很快速。考虑到长度L 和长度 M 的有限长度离散信号，做卷积后面会成为长度

的信号，因为这个原因只要把两离散信号补上一定程度上数目标零（zero-padding）成为 N 点信号，这当中

，则它们的圆周卷积就与卷积相等。就可以马上用 N 点 FFT 作计算。

线性时不变系统：既满足叠加原理又具有的时候，不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，大多数情况下表示为h(n)，即h(n)=T[δ(n)]。　　任一输入序列x(n)的响应y(n)=T[x(n)]=T[δ(n-k)]；　　因为系统是线性的，故此，上式可以写成y(n)=T[δ(n-k)]；　　又因为系统是时不变的，即有T[δ(n-k)]=h(n-k)；　　以此得y(n)=h(n-k)=x(n)*h(n)；　　这个公式称为离散卷积，用“*”表示。

分配律公式：(a+b)c=ac+bc。分配律是离散信号卷积和运算经常会用到的哪些基本运算规则之一，离散序列卷和运算满足分配律，即两个序列先行相加运算再与第3个序列做卷和运算，其结果等于这两个序列分别与第3个序列先做卷和运算，然后二者再相加。

卷和运算的交换律、结合律、分配律可仿照卷积运算的交换律、结合律、分配律推导过程证明成立，这里应强调的是，结合律与分配律应用于系统分析的时候主要用来等效化简复合系统：两个子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应等于相并两子系统单位序列响应的代数和。

离散序列卷和运算满足交换律，即两序列卷和运算与卷和次序无关。

卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的，故此，经常带有麻烦的算术推导，很简单的问题的实质经常就被一大堆公式淹没了，既然如此那，卷积究竟物理意义怎么样呢？

卷积表示为

y(n) = x(n)*h(n)

使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成

y(0),y(1),y(2) and so on；

这是系统响应出来的信号。

同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on；

实际上我们假设没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与现目前时刻系统的输入相关，也跟以前若干时刻的输入相关，因为我们可以理解为这是以前时刻的输入信号经过一种过程（这样的过程可以是递减，削弱，或其他）对目前时刻系统输出的影响，既然如此那，明显，我们计算系统输出时就一定要考虑目前时刻的信号输入的响应还有以前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。

假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和明显不同）。但经常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，既然如此那，怎么表达这样的变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表达，表达为x(m)×h(m-n)，详细表达式不需要多管，只要记着有大约这样的关系，引入这个函数就可以够表达y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。

再拓展点，某时刻的系统响应时常未必是由现目前时刻t和前一时刻t-1这两个响应决定的，也许是另外，t-2时刻，t-3时刻，t-4时刻，等等，既然如此那，怎么管束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来管束的。即说白了，就是现目前时刻的系统响应与多少个以前时刻的响应的“残留影响”相关。

当考虑这些原因后，完全就能够描述成一个系统响应了，这些东西原因通过一个表达式（卷积）即描述出来不可以不说是数学的巧妙和迷人之处了。