什么时候四点共圆，四点共圆竞赛题

四点共圆的定义：假设同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，大多数情况下简称为“四点共圆”

证明四点共圆有下述一部分基本方式：

方式1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，就可以肯定这四点共圆．

方式2把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，以此就可以肯定这四个点共圆．

方式3把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，以此就可以肯定这四点共圆．

方式4把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以肯定这四点共圆．

方式5把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，就可以肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，就可以肯定这四点也共圆．

方式6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，以此确定它们共圆．

上面说的六种基本方式中的每一种的按照，就是出现四点共圆的一种因素，因为这个原因当要求证四点共圆的问题时，第一就要按照出题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方式中选择一种证法，给予证明．

判断与性质：

圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，

角ABC=角ADC（同弧所对的圆周角相等）。

角CBE=角D（外角等于内对角）

△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

　　当四点在同一个圆上时就四点共圆。　　假设同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，大多数情况下简称为“四点共圆”。　　四点共圆有三个性质：　　（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；　　（2）圆内接四边形的对角互补；　　（3）圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以按照圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

1、四点共圆

假设同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，大多数情况下简称为“四点共圆”。

2、四点共圆的性质

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

（2）圆内接四边形的对角互补；

（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

3、四点共圆的判断

判断1：若被证共圆的点到某一定点的距离都相等，以此确定它们共圆。

判断2：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，以此就可以证明这四点共圆。（基本上成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，既然如此那，这二点和线段二端点四点共圆）

判断3：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以证明这四点共圆。（基本上成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，既然如此那，这四点共圆）

判断4：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，就可以证明这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连接并延长成相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，就可以证明这四点共圆。（割线定理的逆定理）

证明四点共圆有下述一部分基本方式：

　　方式1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，就可以肯定这四点共圆．

　　方式2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，以此就可以肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角，就可以肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

　　方式3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以肯定这四点共圆．

　　方式4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，就可以肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，就可以肯定这四点也共圆．(按照托勒密定理的逆定理)

　　方式5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，以此确定它们共圆．

　　上面说的五种基本方式中的每一种的按照，就是出现四点共圆的一种因素，因为这个原因当要求证四点共圆的问题时，第一就要按照出题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方式中选择一种证法，给予证明．

　　判断与性质：

　　圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。

　　如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，

清楚一点对角是直角的四边形的四个顶点，共圆方式是等角四边形的一条对角线作对角线的垂直平分线找不是找到对角线的中点以对角线的中点为圆心到任意一个顶点的距离长为半径画圆既然如此那，这个四边形的四个顶点在同一个圆上，即一对对角互补的四边形个月外接圆也就四点共圆

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）

证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，

若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，按照圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。