圆的弦长公式推导过程，椭圆弦长公式的推导过程

弦长公式的推导过程：d=√(1+k²)|x1-x2|，推导出x1、x2后面，|x1-x2|就是弦长在x边上的投影，故此，就基本上等同于使用购股定理，投影边为1，则另外一个直角边为k，斜边长就是√(1+k²)，故此，成比例地d/|x1-x2|=√(1+k²)/1，d=√(1+k²)|x1-x2|。

弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。圆锥曲线是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。直线与圆锥曲线的位置关系是平面剖析解读几何的重要内容之一，也是高中毕业考试的热点，反复考核。考核的主要内容涵盖：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的有关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。

半径r，圆心角a，弦长l

弦长与两条半径构成一个三角形，用余弦定理

l^2=2r^2-2r^2cosa=2r^2(1-cosa)

l=r*√[2(1-cosa)]

用半角公式可转化为

l=2r*sin(a/2)

直线与圆的弦长公式请看下方具体内容

设圆半径为r，圆心为（m,n)

直线方程为ax+by+c=0

弦心距为d

则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )

椭圆弦长公式 椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x(或有关y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4・X1・X2]得出弦长。设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。推导设直线y=kx+b代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

把直线和圆用直角坐标系下表示,圆的方程明显是x^2+y^2=4^2又x=ρ*cosθ,y=ρ*sinθρSin(θ+兀∕4)=ρ*(√2/2)*(sinθ+cosθ)=(√2/2)*(ρsinθ+ρcosθ)=(√2/2)*(x+y）=2故此，直线的方程为x+y=2√2圆心到直线的距离明显为2√2*(1/√2)=2故此，弦长=2*√(4^2-2^2)=4√3

弦长的一半对应圆心角为a，半径为r，弦长一半等于rsina，弦长等于2rains.

肯定是相交弦定理公式。

推导公式：

PA*PB=PC*PD。相交弦(intersectingchords)是圆内有关的两条弦。在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦，圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。如弦AB和CD相交于⊙O内一点P，既然如此那，PA·PB=PC·PD。

圆是一种几何图形。按照定义，一般用圆规来画圆。 同圆内圆的直径、半径的长度永远一样，圆有大量条半径和大量条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。 同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。故此世界上没有真正的圆，圆其实只是一种概念性的图形。

相交弦长公式：c=│x1-x2│√(k^2+1)。弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

曲线是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了可以应用微积分的知识，我们不可以考虑一切曲线，甚至不可以考虑连续曲线，因为连续未必可微。

这个问题就要我们考虑可微曲线。但是，可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这个问题就让我们没办法从切线启动入手，这个问题就需我们来研究导数处处不为零的这种类型曲线，我们称它们为正则曲线。

弦长公式，指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。 弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]。 这当中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。说是“弦长公式”，实际上是两点间的距离公式-因为斜率k已知了，故此，就可以用斜率、横坐标（或纵坐标）表示的式子了。 因为这个公式常常用于求圆锥曲线上的两点间的距离，故此，一般就把它叫做“弦长公式”了 推导请看下方具体内容： 由直线的斜率公式：k=(y1-y2)/(x1-x2) 得y1-y2=k(x1-x2)　或　x1-x2=(y1-y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] 稍加整理即得： |AB|=|x1-x2|√(1+k²)　或　|AB|=|y1-y2|√(1+1/k²)

椭圆与直线相交的弦长公式：直线：y=kx+b，椭圆：x²/a²+y²/b²=1√（1+k²）[（xA+xB）²-4xAxB]。这当中A，B是直线和椭圆的交点，xA和xB是点A和B的横坐标。

椭圆是紧跟两个焦点的平面中的曲线，让针对曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因为这个原因是圆的概括，其是具有两个焦点在一样位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，针对椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆弦长公式是AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

椭圆弦长公式是一个数学公式，有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

推导过程：

设直线y=kx+b。

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)，则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]，把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²。

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]。

=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]。

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0）。

直线：Ax+By+C=0。

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1。

求直线和椭圆的交点：

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0。

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2)。

n=2*B*C。

p=C^2-A^2*a^2。

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2)。

n1=2*AC。

p1=C^2-B^2*b^2。

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m。

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m；x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1。

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m；x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1。

适用范围：直线与圆锥曲线相交所得弦长都可以用弦长公式。

因为弦长公式是计算两点间距离通用的公式，它是由余弦定理所推导出来的。由∣AB∣=∣x1-x2∣/cosα=∣y1-y2∣/sinα，推出：∣AB∣=√[（x1-x2）^2+（y1-y2）^2]=√(1+k^2)∣x1-x2∣=√(1+1/k^2)∣y1-y2∣这当中α为直线AB的倾斜角，k为直线AB的斜率。

弦长公式针对高中阶段的三种圆锥曲线(椭圆，双曲线，抛物线)都是适用的。使用范围是求直线和圆锥曲线的两交点当中的距离。