椭圆的切线方程怎么求_，椭圆在一点的切线方程怎么求

已知椭圆和椭圆外一点 ，求 到椭圆上的点的小（大）距离。

举个例子， 已知椭圆 ， ， 为椭圆上一点，求 的取值范围。

我在高中有不短的一个时期做圆锥曲线大题很吃力，这是我在恶补圆锥曲线知识时想到的一个问题。

想到这题时，我的第一反应是类比为点到圆距离的值，故此，感觉应该很简单。

给人的印象真的很简单，感觉假设硬算不行，就用椭圆的参数方程嘛；假设椭圆的参数方程还不行，还可以找当以 为圆心的圆与椭圆相切时的切点 ，这个时候过 的切线和 垂直，可以列两条方程解答。

然后动手做才发现，不管是直接硬算，还是用椭圆的参数方程，还是求圆和椭圆的切点，都化归为“四次方程求实数解”的问题。。身为一个普通的高中生，我自然放弃了。

后面不久，我尝试在互联网上找寻这个问题的答案，但并没有找到满意的答案。。我发现有关这个问题的讨论寥寥无几，而大多数回答者给出的答案都是我启动的想法，很明显他们在给出解题思路前没有实质上计算过，故此，出现了想当然的状况。

求椭圆上某点处的切线方程，一般是设出过切点的直线y-y0=k(x-x0)，联立直线与椭圆方程，由判别式 △=0解答，时常计算量很大，容易望而却步；很多资料书上虽然给出了结论但鲜有推导结论的方式，不少考生一知半解．授人以鱼，不如授人以渔，数学中很多结论和公式 的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方式，它们是我们进行研究性学习的良好素材．

针对标准方程(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1来说（即对称轴平行与坐标轴,大多数情况下式中没有xy的二次项）在曲线上（m,n）点切线方程为(x-x0)(m-x0)/a^2+(y-y0)(n-y0)/b^2=1

设切线方程为：y-Y1=k(x-X1)与椭圆方程联立,利用Δ＝0得出k=-b^2X1/(a^2Y1)则切线方程是：y-Y1=[-b^2X1/(a^2Y1)](x-X1)(y-Y1)(a^2Y1)+b^2X1(x-X1)=0a^2yY1+b^2xX1=a^2Y1^2+b^2X1^2=a^2b^2即：xX1/a^2+yY1/b^2=1

椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1

则对x求导：2x/a^2+2yy/b^2=0

得：y=-b^2x/(a^2y)

在（x0,y0)的法线方程为：y=(a^2y0)/(b^2x0)*(x-x0)+y0,

要使它过(0,0),则有：0=-(a^2y0)/b^2+y0

即(b^2-a^2)y0=0

因为这个原因得：a=b或y0=0

当a=b时,这个时候椭圆就成为圆了,法线必过中心点（圆心）了；

当y0=0,这个时候(x0,y0)就是x轴上的顶点,这个时候法线也过中心点,同理y轴上的顶点,其法线也过中心点.的切线方程的斜率为y’，则法线的斜率为-1/y’。法线方程可以写成Y-y=-1/y’(X-x)。由隐函数存在定理可得y’=-F’x/F’y 。法线斜率与切线斜率乘积为-1，即若法线斜率和切线斜率分别用α、β表示，则必有α*β=-1。外法线指向曲面外侧，内法线指向内侧。有助于处理类似问题。

掌握并熟悉外法线指向曲面外侧，内法线指向内侧。可在曲面内侧取一点Q，假设法线方向和向量PQ的夹角大于90°，可以判断其为外法线，反之为内法线。三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面的向量。

1、椭圆的切线方程的斜率为y’，则法线的斜率为-1/y’。法线方程可以写成Y-y=-1/y’(X-x)。由隐函数存在定理可得y’=-F’x/F’y 。法线斜率与切线斜率乘积为-1，即若法线斜率和切线斜率分别用α、β表示，则必有α*β=-1。



2、内法线是法线中的一种，针对立体表面来说，法线是有方向的：大多数情况下来说，由立体的外部指向内部的是法线负方向即内法线，反过来的是法线正方向。而内法线就是这里说的负方向的法线。



3、渐开线齿轮上任何一点所受的力的方向与齿轮的基圆是相切，这才是正确的。因为当曲面受力时，力的作用方向要运用曲面的曲率中心，而齿轮上渐开线的曲率中心就是出现线与基圆的切点。



设椭圆方程是

x^2/a^2+y^2/b^2=1

两边对x求导有：2x/a^2+2yy/b^2=0

y=-xb^2/(a^2y)

因为求导表示的是切线斜率

一般情况下，假设某点（x0,y0)在椭圆上

既然如此那，过这点的椭圆切线斜率为k=-x0b^2/(y0a^2)

过这点的切线方程是：

y-y0=-x0b^2/(y0a^2)(x-x0)

整理得

xx0b^2+yy0a^2=y0^2a^2+x0^2b^2=a^2b^2

即 过点(x0,y0)的切线方程是

xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆函数在狭义上是指x2/a2+y2/b2=1（a,b＞0）这种类型的平面曲线，另外还有雅各布复函数椭圆函数（亚纯函数），不清楚你所指的是哪一种。针对如上x2/a2+y2/b2=1函数可以故将他表示为分段函数分别求导函数就可以，当然在这里x=±a处是没有导数的。

针对大多数情况下意义下的椭圆函数方程（中心对称点不在原点，并且长轴与短轴均与x轴y轴不平行的椭圆曲线）其导函数求法同理于上也还是要先得到对应的y的表达式。而针对雅各比复椭圆函数求法类比于复函数求导法则就可以。

(x²/a²)+(y²/b²)=1两边对x求导得到：(2x/a²)+(2yy'/b²)=0==y'=(-b²/a²)·(x/y)

(x²/a²)+(y²/b²)=1两边对x求导得到：(2x/a²)+(2yy'/b²)=0== y'=(-b²/a²)·(x/y)