求n阶麦克劳林公式，麦克劳林公式n阶导怎么做

∵e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……∴ e^(-x)=1-x+x^2/2!-x^3/3!+……+(-1)^n*x^n/n!+……以此： xe^(－x)=x-x^2+x^3/2!-x^4/3!+……+(-1)^n*x^(n+1)/n!+……

推导过程，就是得出 f(x)的n阶导数 =(-1)^(n-1)(n-1)!(1+x)^(-n) f^(n)(0)=(-1)^(n-1)(n-1)

! 然后代入公式： f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!*x^2+....... 即得后结果。

麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。

　　若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关x多项式和一个余项的和：

　　f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!·x^2,+f(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

　　这当中Rn是公式的余项，可以是请看下方具体内容：

　　1.佩亚诺(Peano)余项：

　　Rn(x) = o(x^n)

　　2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：

　　Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)

　　[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

　　3.拉格朗日(Lagrange)余项：

　　Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)!

　　[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

　　4.柯西(Cauchy)余项：

　　Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n!

　　[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

　　5.积分余项：

　　Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!

　　[f(n+1)是f的n+1阶导数]

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+（-1）^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)!+(-1)^m*cos(θx)x^(2m+1)/(2m+1)!(0＜θ＜1）

f（x）=sinx的n阶麦克劳林公式是f(x)=sinx在x=0处的泰勒展开式，而sin(x)的偶次导数在x=0处的值是0，故此，唯有奇数次导数非零。至于后的余项，也一定是sin(x)的奇数次导数。故此，令n=2m就代表了2m+1次精度 倒数第二项中的(-1)^(m-1)是按照规律推出来的，因为它是对sin(x)求过2m-1次导数后的系数，每求2次导都会出现一个(-1),故此，求了2m-1次导，就出现了m-1个-1

麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。

若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关x多项式和一个余项的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

这当中Rn是公式的余项，可以是请看下方具体内容：

1.佩亚诺(Peano)余项：

Rn(x) = o(x^n)

2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：

Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

3.拉格朗日(Lagrange)余项：

Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)!

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

4.柯西(Cauchy)余项：

Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n!

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

5.积分余项：

Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!

[f(n+1)是f的n+1阶导数]

经常会用到麦克劳林公式请看下方具体内容：

1，sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…＋（－1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+0^(x^(2n+2))。

2、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…＋（－1）＾nx^2n/(2n)!+0^(x^2n)。

3、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…＋（－1)^nx^(n+1)/(n+1)+0(x^(n+1))。

4、1/(1-x)=1+x+x^2+…＋x^n+0(x^n)。

5、（1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2!x^2+…＋m(m-1)…（m-n-+1)x^n/n!+0(x^n)。

6、e^x=1+x+x^2/2!+…x^n/n!+e^θx·x^(n+1)/(n+1)!

7、1/(1+x)=1+x+x^2+x^3+…＋x^n(x∈（－1,1))。

8、tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+…＋（－1)^(n-1)2^2n(2^2n-1)/(2n)!

9、secx=1+x^2/2+5x^4/24+61x^6/720+277x^8/8064+o(x^8)。

10、coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!+…＋x^2n/(2n)!

麦克劳林简介

麦克劳林，Maclaurin(1698-1746)是18世纪英国具有影响的数学家之一。

1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。

1742年撰写名著《流数论》是早为Newton流数方式做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方式和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方式，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用还未确定系数法给予证明。

麦克劳林公式是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn这当中Rn是公式的余项，可以是请看下方具体内容：1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x)=o(x^n)2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x)=f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x)=f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x)=f(n+1)(θx)(1-θ)^nx^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]5.积分余项：Rn(x)=[f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)是f的n+1阶导数]

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+（-1）^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)!+(-1)^m*cos(θx)x^(2m+1)/(2m+1)!(0＜θ＜1）

f（x）=sinx的n阶麦克劳林公式是f(x)=sinx在x=0处的泰勒展开式，而sin(x)的偶次导数在x=0处的值是0，故此，唯有奇数次导数非零。至于后的余项，也一定是sin(x)的奇数次导数。故此，令n=2m就代表了2m+1次精度 倒数第二项中的(-1)^(m-1)是按照规律推出来的，因为它是对sin(x)求过2m-1次导数后的系数，每求2次导都会出现一个(-1),故此，求了2m-1次导，就出现了m-1个-1