立方和的求和公式，两个平方根相加怎么算

立方和计算公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。

立方的算法是三个相同的数相乘，得出这个数的立方，如8×8×8叫做8的立方，记做8³。另外立方米是量词。立方米是体积单位，用于体积的计算，符号表示为m³。长方体的立方即是体积=长×宽×高。

1^3=1立方,

1^3+2^3=1*1^2+2*2^2=1^2+2^2+2^2=1^2+2*1*2+2^2=(1+2)^2

后面以此类推

1^3+2^3+3^3+……+N^3=(1+2+3+……+N)^2=n^2*(n+1)^2÷4

和平常的加减乘除差不多，就是根号内面的数或字母完全相同才能相加减，乘除就都可以。

立方求和公式是a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。

可以将两个立方根分别算出来，然后根据题目要求取对应的小数位，后相加得到结果。

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，

推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式整理后得：

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，

推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，

代人上式整理后得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

扩展资料：

平方和就是2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

平方和公式：

，即

。

证法五 （拆分，直接推导法）：

1=1

2²=1+3

3²=1+3+5

4²=1+3+5+7

...

(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]

n²=1+3+5+7+...+[2n-1]

求和得：

……(*)

因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

代入(*)式，得：

此式即

分解步骤如下：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解题时常用它的变形：

(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)和a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

立方和累加：

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，

推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式整理后得：

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，

推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，

代人上式整理后得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

扩展资料：

平方和就是2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

平方和公式：

，即

。

证法五 （拆分，直接推导法）：

1=1

2²=1+3

3²=1+3+5

4²=1+3+5+7

...

(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]

n²=1+3+5+7+...+[2n-1]

求和得：

……(*)

因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

代入(*)式，得：

此式即

分解步骤如下：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解题时常用它的变形：

(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)和a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

立方和累加：

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

解题过程：

一、加一项减一项，保证等式两边不变

=a²a-a²b+ab²+a²b-ab²+b³

二、提取公因数

=a(a²-ab+b²)+b(a²-ab+b²)

三、提取公因式

=(a+b)(a²-ab+b²)

四、得出结论

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

相关内容：

①完全立方公式：

完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式，完全立方和(或差)公式指的是两数和(或差)的立方等于这两个数的立方和(或差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(或差)，即(a±b)^3=a^3±3a^2 b+3a b^2±b^3。

②变形（常用）立方公式：

（1）立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

（2）立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

（3）三数和平方公式(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

③立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下 ：

立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积 。

扩展资料：

(a+b)^n=(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n。

依据：（二项式定理的应用）

1、二项式定理（英语： Binomial theorem），又称 牛顿二项式定理，由 艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如 展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即 广义二项式定理。

2、它不是一个等差数列，也不是一个 等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，终可推导至 李善兰 自然数幂求和公式的原形。

3、所有添加的二项式展开式数，按二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导，终可以推导至 李善兰 自然数幂求和公式。

立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。

等于三次立方的和相加

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

证明：

1^3=1^2

1^3+2^3=(1+2)^2

1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2

综上所述,观察得知:

1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……+n)^2=n^2(n+1)^2/4

当n=1时，结论显然成立

若n=k时，结论假设也成立

1^3+2^3+3^3+……+k^3=k^2(k+1)^2/4

则n=k+1时有

1^3+2^3+3^3+……+k^3+(k+1)^3

=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3

=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4

=(k+1)^2(k+2)^2/4

所以

1^3+2^3+3^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4

汉语拼音：立方(lì fāng）

1.也叫三次方。三个相同的数相乘，叫做这个数的立方。如5×5×5叫做5的立方，记做5。

2.量词，用于体积，一般指立方米。

3.在图形方面，立方是测量物体体积的，如立方米、立方分米、立方厘米等常用单位，

（一）求出立方体的棱长

（二）棱长=体积（注意：如果棱长单位是厘米，体积单位是立方厘米，写作cm³；如果棱长单位是米，体积单位是立方米，写作m³，以此类推。

英文单词：cube

如果仅仅是为了证明这条公式，那么用数学归纳法就够了 归纳法证明:（1）当n=1时，显然成立 （2）设n=k时成立，则1^3+2^3+~~~~~+k^3=[k(k+1)/2]^2 当n=k+1时，1^3+2^3+~~~~~+k^3+(k+1)^3 =[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3 =(k+1)^2[(k/2)^2+k+1] =(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4] =(k+1)^2[(k+2)/2]^2 =(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2 即n=k+1时也满足 综合(1)(2)知 1^3+2^3+~~~~~+n^3 =[n(n+1)/2]^2 如果学到微积分的话，你会发现自然数的平方和，立方和，4次方和，5次方和...等等，都有计算公式，它们都只是泰勒公式的一个简单特例而已。