数列极限证明全过程，基本极限的推导过程怎么写
数列极限证明整个过程？
数列极限制要求义证明步骤证明：对任意的ε0，解不等式│1/√n│=1/√nε，得n1/ε²，取N=[1/ε²]+1...

1证明步骤
证明：对任意的ε0，解不等式
│1/√n│=1/√nε
得n1/ε²，取N=[1/ε²]+1。
于是，对任意的ε0，总存在自然数取N=[1/ε²]+1。
当nN时，有│1/√n│ε
故lim(n-∞)(1/√n)=0。
2数列极限
数列的极限问题是我们学习的一个非常重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与出现对微积分的理论有着重要的意义。
数列极限制要求义
定义设为数列{an}，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，让当nN时有
▏an-a▕E则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}发散。
等价定义任给ε0，若在(a-ε,a+ε)之外数列{an}中的项至多唯有有限个，则称数列{an}收敛于极限a。
基本极限的推导过程？
设xn=(1+1/n)^n,我们来证{xn}枯燥乏味增多并且有界。按牛顿二项公式，有
xn=(1+1/n)^n
＝1+(n/1!)*(1/n)+n*(n-1)/2!*1/n^2+……+n(n-1)……(n-n+1)/n!*1/n^n
=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)*(1-2/n)+……+1/n!*(1-1/n)*(1-2/n)……[1-(n-1)/n]
类似地，
xn+1=1+1+1/2!*[1-1/(n+1)]+1/3!*[1-1/(n+1)]*[1-2/(n+1)]+……+1/(n+1)!*[1-1/(n+1)]*[1-2/(n+1)]……[1-n/(n+1)].
比较xn,xn+1地绽开式，可以看到除前两项外，xn地每一项都小于xn+1的对应项，并且xn+1还多了后一项，其值大于0，因为这个原因
xnxn+1
这说明数列{xn}是枯燥乏味增多.这个数列同时还是有界的。
设n=x(n+1),则
[1+1/(n+1)]^n(1+1/x^)n(1+1/n)^(n+1)
且n与x同时趋于+∞。因为
lim[1+1/(n+1)]^n=lim[1+1/(n+1)]^(n+1)/[1+1/(n+1)]=e (n趋于∞)
lim(1+1/n)^(n+1)=lim[(1+1/n)^n*(1+1/n)]=e
应用夹逼定理，既得
lim(1+1/x)^x=e (x趋于+∞)
L = lim(x-0) (sinx/x)^(1/x^2)
lnL =lim(x-0) ln(sinx/x)/x^2 ( 0/0)
分子。分母分别取导数
=lim(x-0) ( tanx - 1/x)/(2x)
事实上 可以有其他方式
x-0
sinx ~ x -(1/6)x^3
sinx/x ~ 1 -(1/6)x^2
lim(x-0) ( sinx/x) ^(1/x^2)
=lim(x-0) ( 1 -(1/6)x^2 ) ^(1/x^2)
=e^(-1/6)
函数极限是不是存在怎么证明？
设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.假设针对任意给定的ε＞0，存在正数X，让针对合适不等式x＞X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式.
│f(x)-A│ε ,
则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作
f(x)→A(x→+∞).
有部分函数的极限超级难或很难直接运用极限运算法则求得，需先判断。下面讲解哪些经常会用到的判断数列极限的定理。
两边夹定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有一个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立
（2）g(x)—Xo=A,h(x)—Xo=A,那么f(x)极限存在，且等于A
不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
枯燥乏味有界准则：枯燥乏味增多（减少）有上（下)界的数列理所当然收敛。
在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下重要之点。一是先要用枯燥乏味有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的重点是找到极限值一样的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，以此证明或求得函数 的极限值。
函数极限的方式
（1）
利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x-a
（就是直接将趋向值带出函数自变量中，这个时候要要求分母不可以为0）
（2）恒等变形
当分母等于零时，就不可以将趋向值直接代入分母，可以通过下面哪些建议处理：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母产生根号，可以配一个因子是根号去除。
第三：以上我所说的解法全部在趋向值是一个固定值时进行的，假设趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的高次方。（一般会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
当然还会有其他的变形方法，需通过练习来熟练。
（3）通过已知极限
定义法证明极限的步骤？
lim(x→x0) f(x)=a
先了解其定义：
对任意ε0，存在δ0，使当|x-x0|δ时，都拥有|f(x)-a|ε
这个定义就是说：只要x与x0很接近时，就有f(x)差不多与a相等了
那么究竟这个“很接近”是有多接近呢？那就是我们一定要在证明中给出的
由此，我们可以清楚，要证明一个极限，重要就是要找出存在的δ有关ε的表达式
这个表达式δ(ε)的详细找出过程，只要能在草稿上完成
书面上，这个过程可以大大省略（但不要整个省了，要写一两步重要步骤
自然数e的极限公式推导？
针对数列{ ( 1 + 1/n )^n }， 当n趋于正无穷时该数列所获取的极限就是e，即e = lim (1+1/n)^n。 数e的某些性质让它作为对数系统的底时有特殊的便利。以e为底的对数称为自然对数。用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用自然对数。 历史上误称自然对数为纳皮尔对数，取名于对数的发明者-苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier A.D.16-17)。
纳皮尔自己依然不会曾有过对数系统的底的概念，但他的对数基本上等同于底数接近1/e的对数。
与他同时代的比尔吉(J.Burgi)则创底数接近e的对数。
有关e的极限的公式：lim（1+1/x）^x，非常强调，x可以是一个详细的变量，也可是一个计算公式，但公式里面和指数部分一定要完全一样，配平指数，后得到e的某次方。
